Question

已知拋物線y=x²+px+q與x軸相交于不同的兩點A（x₁，0）、B（x₂，0）（B在A的右邊），又拋物線與y軸相交于C點，且滿足
（1）求證：4p+5q=0；
（2）問是否存在一個圓O'，使它經過A、B兩點，且與y軸相切于C點？若存在，試確定此時拋物線的解析式及圓心O'的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：由已知，∵x₁、x₂是一元二次方程x²+px+q=0的兩個不相等的實數根，
∴
又∵，
即=
∴，
∴4p+5q=0．

（2）答：存在滿足條件的⊙O'．其理由如下：
設⊙O'滿足條件，則OC是⊙O'的切線，由切割線定理知OC²=OA•OB=|x₁x₂|．
又∵拋物線y=x²+px+q與y軸交于C點，
∴點C的坐標為（0，q），
∴OC=|q|．
∴q²=|2q|，
即q²=±2q．
解得q₁=0，q₂=2，q₃=-2．
①當q=0時，x₁•x₂=0不滿足題設條件．
②當q=2時，p=-，此時拋物線方程y=x²-x+2．
∴點C的坐標為（0，2），拋物線的對稱軸為x=．
∵圓心O'在AB的垂直平分線上，O'C⊥y軸，
∴圓心O′的坐標為（，2）；
③當q=-2時，p=，
此時拋物線為y=x²+x-2，
∵x₁•x₂=-4＜0，
∴A、B在y軸的兩側．
故過A、B的圓必與y軸相交，不可能相切，
因此q=-2時也不滿足題設條件．
綜上所述，滿足條件的⊙O′是存在的，它的圓心坐標為O′（，2），
此時拋物線的解析式為：y=x²-x+2．
分析：（1）由于A、B是拋物線與x軸的兩個交點，根據韋達定理即可表示出x₁+x₂以及x₁x₂的表達式，可將已知的x₁、x₂的倒數和變形為x₁+x₂及x₁x₂的形式，然后代值計算，即可證得所求的結論．
（2）假設存在符合條件的⊙O′，那么這個圓必同時經過A、B、C三點，根據切割線定理即可求得q的值，進而可確定拋物線的解析式和A、B、C的坐標．
①當A、B在原點的同一側時，由于⊙O′同時經過A、B，則圓心O′必在拋物線的對稱軸上，由此可確定點O′的橫坐標，而⊙O′與y軸相切于C點，那么O′、C的縱坐標相同，即可得到所求的O′坐標；
②當A、B分別位于原點兩側時，此時⊙O′與y軸相交，因此不存在符合條件的O′．
點評：此題主要考查了根與系數的關系、切線的性質、切割線定理、二次函數解析式的確定等知識，同時還考查了分類討論的數學思想，難度偏大．