Question

【題目】在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB為邊向△ABC外作△ABD，若△ABD是等腰直角三角形，則線段CD的長為_____．

Answer 1

【答案】或或

【解析】

分（1）AB＝BD，（2）AB＝AD，（3）AD＝BD三種情況，根據勾股定理分別計算CD的值即可.

解：（1）當AB＝BD時，作DE⊥BE，

∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠ABC+∠DBE＝90°，

∴∠CAB＝∠DBE，

在△BED和△ACB中，

，

∴△BED≌△ACB（AAS），

∴BE＝AC＝4，DE＝BC＝2，

∴CD＝＝；

（2）如圖所示，當AB＝AD時，作DE⊥AE，∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠BAC+∠DAE＝90°，

∴∠ABC＝∠DAE，

在△DEA和△ACB中，

，

∴△DEA≌△ACB（AAS），

∴DE＝AC＝4，AE＝BC＝2，

∴CD＝＝；

（3）如圖所示，當AD＝BD時，作DE⊥AC，DF⊥CB延長線于F，∵∠ADE+∠BDE＝90°，∠BDF+∠BDE＝90°，

∴∠ADE＝∠BDF，

在△ADE和△BDF中，

，

∴△ADE≌△BDF（AAS），

∴AE＝BF，

∴AC+BC＝AE+CE+CF﹣BF＝2CE．

∴CE＝3，

∴CD＝．

綜上所述，CD的長是或或，

故答案為：或或.