Question

（2012•青浦區二模）如圖，⊙O的半徑為6，線段AB與⊙O相交于點C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB與⊙O相交于點E，設OA=x，CD=y．
（1）求BD長；
（2）求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；
（3）當CE⊥OD時，求AO的長．

Answer 1

分析：（1）易得△OBD∽△AOC，利用相似三角形的對應邊成比例可得BD長；
（2）易得△ACO∽△AOB，利用相似三角形的對應邊成比例可得y與x的關系式，根據y為正數及x為△AOC的一邊可得x的取值范圍；
（3）可利用等角對等邊判斷出AO=AD，結合（2）得到的關系式把相關數值代入求得合適的解即可．

解答：解：（1）∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠OCA=∠ODB，
∵∠BOD=∠A，
∴△OBD∽△AOC，
∴

BD

OC

=

OD

AC

，
∵OC=OD=6，AC=4，
∴

BD

6

=

6

4

，
∴BD=9；

（2）∵△OBD∽△AOC，
∴∠AOC=∠B．
又∵∠A=∠A，
∴△ACO∽△AOB，
∴

AB

AO

=

AO

AC

，
∵AB=AC+CD+BD=y+13，
∴

y+13

x

=

x

4

，
∴y關于x的函數解析式為y=

1

4

x2-13．  定義域為2

13

＜x＜10；

（3）∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．
∴∠AOD=180°-∠A-∠ODC=180°-∠COD-∠OCD=∠ADO．
∴AD=AO，∴y+4=x，∴

1

4

x2-13+4=x．
∴x=2±2

10

（負值不符合題意，舍去）．
∴AO=2+2

10

．

點評：綜合考查圓及相似三角形的知識；找到與所求線段相關的相似三角形是解決本題的關鍵．