Question

如圖，邊長為1的正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割為四個小矩形，EF與GH交于點P．
（1）若AG=AE，證明：AF=AH；
（2）若∠FAH=45°，證明：AG+AE=FH；
（3）若Rt△GBF的周長為1，求矩形EPHD的面積．

Answer 1

（1）證明：連接AH、AF．
∵ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠B=90°．
∵ADHG與ABFE都是矩形，
∴DH=AG，AE=BF，
又∵AG=AE，
∴DH=BF．
在Rt△ADH與Rt△ABF中，
∵AD=AB，∠D=∠B=90°，DH=BF，
∴Rt△ADH≌Rt△ABF，
∴AF=AH．

（2）證明：將△ADH繞點A順時針旋轉90°到△ABM的位置．
在△AMF與△AHF中，
∵AM=AH，AF=AF，
∠MAF=∠MAH-∠FAH=90°-45°=45°=∠FAH，
∴△AMF≌△AHF．
∴MF=HF．
∵MF=MB+BF=HD+BF=AG+AE，
∴AG+AE=FH．

（3）解：設BF=x，GB=y，則FC=1-x，AG=1-y，（0＜x＜1，0＜y＜1）
在Rt△GBF中，GF²=BF²+BG²=x²+y²
∵Rt△GBF的周長為1，
∴BF+BG+GF=x+y+=1
即=1-（x+y）
即x²+y²=1-2（x+y）+（x+y）²
整理得2xy-2x-2y+1=0
∴xy-x-y=-，
∴矩形EPHD的面積S=PH•EP=FC•AG=（1-x）（1-y）=xy-x-y+1=-，
∴矩形EPHD的面積是．
分析：（1）因為AG=AE?BF=DH．AB=AD，∠ABC=∠ADH?△ABF≌△ADH．（SAS）
（2）將△ADH繞點A順時針旋轉90°后，可得△AFH≌△AFM然后可求得結論．
（3）設BF=x，GB=y，根據線段之間的關系利用勾股定理求出xy的值．
點評：本題考查正方形的特殊性質，勾股定理以及正方形中的特殊三角形的應用．