Question

【題目】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對角線交于點O，連接OC，已知AC＝4，OC＝7，則另一條直角邊BC的長為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

過O作OF⊥BC，過O作OM⊥AC，根據正方形的性質得出∠AOB＝90°，OA＝OB，求出∠BOF＝∠AOM，根據AAS證△AOM≌△BOF，推出AM＝BF，OM＝FO，求出四邊形CMOF為矩形，得出等腰直角三角形OCF，根據勾股定理求出CF＝OF的長，求出BF，即可求出答案．

過O作OF⊥CB，交CB的延長線于F，過O作OM⊥AC于M，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BCM＝∠OFB＝∠CMO＝90°，

∴四邊形CMOF是矩形，

∴OM＝CF，CM＝OF，

∵四邊形ABDE為正方形，

∴∠AOB＝90°，OA＝OB，

∴∠AOM+∠BOM＝90°，

又∵∠FOM＝90°，

∴∠BOF+∠BOM＝90°，

∴∠BOF＝∠AOM，

在△AOM和△OBF中

∴△AOM≌△BOF(AAS)，

∴AM＝BF，OM＝OF，

∴OF＝CF，

∵∠CFO＝90°，

∴△CFO是等腰直角三角形，

∵OC＝7，

由勾股定理得：CF＝OF＝,

∴BF＝AM＝AC﹣CM＝AC﹣OF＝﹣＝,

∴BC＝﹣＝3．

故答案為：3．