Question

在1～100之間若存在整數n，使x²+x-n能分解為兩個整系數一次式的乘積，這樣的n有

9

個．

Answer 1

分析：根據根與系數的關系，可設x²+x-n=（x+a）（x+b），即可得a+b=1，ab=-n，可得a，b符號相反，且a，b的絕對值是相鄰的兩個數，然后由小到大分類討論即可求得．解題時注意不要漏解．

解答：解：∵使x²+x-n能分解為兩個整系數一次式的乘積，
∴設x²+x-n=（x+a）（x+b），
∴a+b=1，ab=-n，
可得：a，b符號相反，且a，b的絕對值是相鄰的兩個數，
∴若a=-1，b=2，可得n=2，
若a=-2，b=3，可得n=6，
若a=-3，b=4，可得n=12，
若a=-4，b=5，可得n=20，
若a=-5，b=6，可得n=30，
若a=-6，b=7，可得n=42，
若a=-7，b=8，可得n=56，
若a=-8，b=9，可得n=72，
若a=-9，b=10，可得n=90，
若a=-10，b=11，可得n=110，不符合題意，舍去．
∴可得這樣的n有9個．

點評：此題考查了一元二次方程中根與系數的關系．解題時注意分類討論思想的應用，小心不要漏解．