Question

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A，將正方形AEFG繞點A旋轉．

（1）如圖，當點E旋轉到DA的延長線上時，△ABE與△ADG面積之間的關系為：S_△ABE

=

S_△ADG（填“＜”“=”“＞”）；
（2）如圖，當正方形AEFG旋轉任意一個角度時，S_△ABE

=

S_△ADG（填“＜”“=”“＞”），并說明理由；
（3）如圖，四邊形ABCD、四邊形AEFG和四邊形DGMN均為正方形，則S_△ABE、S_△ADG、S_△CDN和S_△GMF的關系是

相等

．
（4）某小區中有一塊空地，要在其中建三個正方形健身場所，其余空地（圖中陰影部分）修成草坪，其中一個正方形的邊長為6m．另外兩個正方形的邊長之和為10m，則草坪的最大面積為

48

m²．

Answer 1

分析：（1）根據面積公式可直接看出△ABE與△ADG是等底等高的關系，所以面積相等；
（2）過點E作△ABE中AB邊上的高，交BA延長線于點P，過點G作△ADG中AD邊上的高，交AD延長線于點Q．利用正方形和直角三角形的性質可證明△AEP≌△AGQ，即EP=QG，AB=AD，所以△ABE與△ADG也是等底等高，它們的面積關系是相等．
（3）與（2）的過程類似．
（4）設AD=6，AG=x，GD=10-x，利用海倫公式表示出一個三角形的面積，建立關于x的一元二次方程，求其最大值即可．

解答：解：（1）相等，故答案為相等．

（2）過點E作△ABE中AB邊上的高，交BA延長線于點P，過點G作△ADG中AD邊上的高，交AD延長線于點Q，如圖，
∵正方形ABCD和正方形AEFG中，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠EAP+∠GAP=90°，
∠QAG+∠GAP=90°，
∴∠EAP=∠DAG，
∵AE=AG，∠EPA=∠AQG=90°，
∴Rt△AEP≌Rt△AGQ，
∴EP=QG，
而AB=AD，
∴S_△ABE=

1

2

AB×EP=S_△ADG=

1

2

AD×QD．
故答案為“=”．


（3）根據（2）的推理過程可知，S_△ABE=S_△ADG=S_△CDN=S_△GMF．
故答案為“相等”．

（4）設AD=6，AG=x，GD=10-x，設△ADG的面積為S，
由海倫公式可知：S=

{8(8-6)(8-x)[8-(10-x)]}

=4

-(x-5)2+9

，
當x=5時，S取得最小值，為12，
則由于四個三角形面積相等，故陰影部分的最大面積為12×4=48．
故答案為48．

點評：本題考查了旋轉的性質和相似三角形的性質，利用海倫公式求出一個陰影三角形的面積的最小值是解題的關鍵．