Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（-1，0），點C（0，

3

）拋物線y=ax2+

2 3

3

x+c（a≠0）經過A、C兩點．與x軸交于點B
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在點P，使△ABP為直角三角形？若存在，直接寫出P點坐標；若不存在，請說明理由；
（3）試探究在直線AC上是否存在一點M，使得△MOB的周長最��？若存在，求出的周長最小值．【提示：拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是x=-

b

2a

，頂點坐標是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）】

Answer 1

分析：（1）拋物線解析式中有兩個待定系數a，c，根據直線AC解析式求點A、C坐標，代入拋物線解析式即可；
（2）分析不難發現，△ABP的直角頂點只可能是P，設P（a，b），作PE⊥AB，利用△APE∽△PBE，利用比例線段建立等量關系求出點P的坐標．
（3）由于B，O是定點，BO的長一定，實際上就是求BM+OM最小，找出點B關于直線AC的對稱點F，連接OF，交AC于點M，點M即為所求，由（2）可知，BC⊥AC，延長BC到F，使BC=FC，作FG⊥AB，交AB于點G，利用中位線的性質可得FG的長，在Rt△GFO中利用勾股定理就可以求出OF的長，從求出△OMB的周長．

解答：解：（1）由題意，得

0=a- 2 3 3 +c 3 =c

解得

a=- 3 3 c= 3

拋物線的解析式為：y=-

3

3

x2+

2 3

3

x+

3

；

（2）∵拋物線與x軸交于點B
∴當y=0時，則
0=-

3

3

x2+

2 3

3

x+

3

解得；
x₁=-1，x₂=3，
∴B（3，0），
設P（a，b），則有b=-

3

3

a2+

2 3

3

a+

3

則有P（a，-

3

3

a2+

2 3

3

a+

3

），
∴AE=a+1，BE=3-a，PE=-

3

3

a2+

2 3

3

a+

3

．
如圖：作PE⊥AB于E，
∴∠AEP=∠BEP=90°
∵∠APB=90°
∴△APE∽△PBE
∴

AE

PE

=

PE

BE

∴

a+1

- 3 3 a2+ 2 3 3 a+ 3

=

- 3 3 a2+ 2 3 3 a+ 3

3-a

解得：a₁=0，a₂=3，（在x軸上，舍去）a₂=2，a₄=-1（在x軸上，舍去）
∴P（0，

3

）或P（2，

3

）．

（3）由（2）知AC⊥BC，延長BC至點F，使CF=BC，連接OF交AC于點M，連接BM，作FG⊥AB于G，
∴FG∥OC，△MOB的周長最�。�
C_△MOB=BO+MO+MB=BO+OF
∵CF=BC
∴GO=BO
∴CO是△BFG的中位線
∴GF=2OC
∵B（3，0），C（0，

3

）
∴0B=3，OC=

3

∴OG=3，GF=2

3

，在Rt△GFO中，由勾股定理，得
OF=

(2 3 )2+32

∴OF=

21

∴C_△MOB=

21

+3
∴C_△MOB的最小值是：

21

+3．

點評：本題是一道二次函數的綜合題，考查了利用待定系數法求拋物線的解析式，直角三角形的判定及性質，軸對稱的運用，勾股定理的運用等知識點．