Question

如圖1，在△ABC中，D、E、F分別為三邊的中點，G點在邊AB上，且DG平分△ABC的周長，設BC=a、AC=b、AB=c．
（1）求線段BG的長；
（2）求證：DG平分∠EDF；
（3）連接CG，如圖2，若△GBD ∽△GDF，求證：BG⊥CG．

Answer 1

（1）（b+c）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

試題分析：（1）由△BDG與四邊形ACDG的周長相等與BD=CD，易得BG=AC+AG，即可得BG=（AB+AC）；
（2）由點D、F分別是BC、AB的中點，利用三角形中位線的性質，易得DF=AC=b，由FG=BG-BF，求得DF=FG，又由DE∥AB，即可求得∠FDG=∠EDG；
（3）由△BDG與△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），可得∠B=∠FDG，又由（2）得：∠FGD=∠FDG，易證得DG=BD=CD，可得B、G、C三點在以BC為直徑的圓周上，由圓周角定理，即可得BG⊥CG．
試題解析：（1）解：∵△BDG與四邊形ACDG的周長相等，
∴BD+BG+DG=AC+CD+DG+AG，
∵D是BC的中點，
∴BD=CD，
∴BG=AC+AG，
∵BG+（AC+AG）=AB+AC，
∴BG=（AB+AC）=（b+c）；
（2）證明：∵點D、F分別是BC、AB的中點，
∴DF=AC=b，BF=AB=c，
又∵FG=BG-BF=（b+c）-c=b，
∴DF=FG，
∴∠FDG=∠FGD，
∵點D、E分別是BC、AC的中點，
∴DE∥AB，
∴∠EDG=∠FGD，
∴∠FDG=∠EDG，
即DG平分∠EDF；
（3）證明：∵△BDG與△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），
∴∠B=∠FDG，
由（2）得：∠FGD=∠FDG，
∴∠FGD=∠B，
∴DG=BD，
∵BD=CD，
∴DG=BD=CD，
∴B、G、C三點在以BC為直徑的圓周上，
∴∠BGC=90°，
即BG⊥CG．