Question

【題目】如圖1，拋物線y=x2﹣2x+k與x軸交于點A、B兩點，與y軸交于點C（0，﹣3）（圖2，圖3為解答備用圖）．

（1）k= ，點A的坐標為 ，點B的坐標為 ；

（2）設拋物線y=x2﹣2x+k的頂點為M，求四邊形ABMC的面積；

（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）﹣3，（﹣1，0），（3，0）；

（2）S四邊形ABMC=9；

（3）當m=時，S四邊形ABDC最大，此時D（，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）將C點坐標代入拋物線解析式可求k的值，由拋物線解析式求A，B兩點坐標；

（2）根據A、B、M、N四點坐標，將四邊形分割為兩個三角形和一個梯形求面積；

（3）只要使△DBC面積最大即可，由此求D點坐標；

試題解析：（1）將C（0，﹣3）代入拋物線y=x2﹣2x+k中，得k=﹣3，

∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3，

令y=0，得x=﹣1或3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

故答案為﹣3，（﹣1，0），（3，0）；

（2）如圖（1），

過M點作MN⊥AB，垂足為N，

由y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，可知M（1，﹣4），

∴S四邊形ABMC=S△ACO+S梯形OCMN+S△BMN=×1×3+×（3+4）×1+×（3﹣1）×4=9；

（3）存在，如圖（2），

設D（m，m2﹣2m﹣3），

過D點作DE⊥AB，垂足為E，則

S四邊形ABDC=S△ACO+S梯形OCDE+S△BDE

=×1×3+×[3﹣（m2﹣2m﹣3）]×m+×（3﹣m）×[﹣（m2﹣2m﹣3）]

=﹣m2+m+6，

∵﹣＜0，

∴當m=﹣=時，S四邊形ABDC最大，此時D（，﹣）．