Question

【題目】已知：⊙O是△ABC的外接圓，點M為⊙O上一點.

（1）如圖，若△ABC為等邊三角形，BM=1，CM=2，求AM的長；

小明在解決這個問題時采用的方法是：延長MC到E，使ME=AM，從而可證△AME為等邊三角形，并且△ABM≌△ACE，進而就可求出線段AM的長．

請你借鑒小明的方法寫出AM的長，并寫出推理過程．

（2）若△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，，（其中b＞a），直接寫出AM的長(用含有a，b的代數式表示).

Answer 1

【答案】AM的長是 (a+b)或 (b-a)．

【解析】

試題（1）延長MB至點E，使BE=MC，連AE，根據等邊三角形性質求出AC=AB，根據圓內接四邊形的性質推出∠ABE=∠ACM，證△ABE≌△ACM，推出AM=AE，證等邊三角AEM，推出AE=AM=ME，即可推出答案；

（2）分為兩種情況，畫出圖形，延長MB至點E，使BE=MC，連AE，根據等腰直角三角形性質推出AB=AC，根據SAS證△ABE≌△ACM，推出AM=AE，∠E=∠AMC=45°，∠AMB=45°，求出△EAM是等腰直角三角形，根據勾股定理求出即可．

（1）解：延長MB至點E，使BE=MC，連接AE，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，

∵四邊形ABMC是⊙O的內接四邊形，

∴∠ABE=∠ACM，

在△AEB和△AMC中，∴△AEB≌△AMC，

∴∠AEB=∠AMC，

∵∠AMC=∠ABC（在同圓中，同弧所對的圓周角相等），

∴∠AEB=∠ABC，

∵∠AME=∠ACB（在同圓中，同弧所對的圓周角相等），

又∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠AEB=∠AME=60°，

∴△AEM是等邊三角形，

∴AM=ME=MB+BE，

∵BE=MC，

∴MB+MC=MA=1+2=3．

即AM的長是3．

（2）解：分為兩種情況：①如圖，

延長MB至點E，使BE=MC，連AE，

由（1）知：∠ABE=∠ACM，

在△ABE和△ACM中

∴△ABE≌△ACM，

∴AM=AE，∠E=∠AMC，

∵∠AMC=∠ABC=45°，∠AMB=∠ACB=45°，

∴∠E=∠AMB=45°，

∴∠EAM=90°，

在△EAM中，ME=MB+BE=MB+CM=a+b，AE=AM，

由勾股定理得：AM=(a+b)

即AM=(a+b)

②如圖，

在CM上截取CN=BM，連接AN，

∵∠ABM所對的弧和∠ACN所對的弧都是弧AM，

∴∠ABM=∠ACN，

在△ABM和△ACN中

∴△ABM≌△ACN（SAS），

∴AM=AN，∠BAM=∠CAN，

∵∠BAC=∠BAN+∠CAN=90°，

∴∠BAN+∠BAM=90°，

∴∠MAN=90°，

則△MAN是等腰直角三角形，

∵MN=CM-CN=CM-BM=b-a，

由勾股定理得：AM=AN=(b-a)

即AM= (b-a)．

即AM的長是 (a+b)或 (b-a)．