Question

如圖，已知半徑為1的⊙O₁與x軸交于A、B兩點，經過原點的直線MN切⊙O₁于點M，圓心O₁的坐標為（2，0）．
（1）求切線MN的函數解析式；
（2）線段OM上是否存在一點P，使得以P、O、A為頂點的三角形與△OO₁M相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）若將⊙O₁沿著x軸的負方向以每秒1個單位的速度移動；同時將直線MN以每秒2個單位的速度向下平移，設運動時間為t（t＞0），求t為何值時，直線MN再一次與⊙O₁相切？（本小題保留3位有效數字）

Answer 1

解：（1）過點M作MF⊥x軸，垂足為F
∵MN是切線，M為切點，
∴O₁M⊥OM
在Rt△OO₁M中，
∴∠O₁OM=30°，
在Rt△MOF中，∠O₁OM=30°，
∴
∴點M坐標為（2分）
設切線MN的函數解析式為y=kx（k≠0），由題意可知，
解得：
∴切線MN的函數解析式為（1分）

（2）存在．
①過點A作AP₁⊥x軸，與OM交于點P₁．
可得Rt△AP₁O∽Rt△MO₁O，，
∴（2分）
②過點A作AP₂⊥OM，垂足為P₂，過P₂點作P₂H⊥OA，垂足為H．
可得Rt△AP₂O∽Rt△O₁MO
在Rt△OP₂A中，∵OA=1，
∴
在Rt△OP₂H中，，
∴（2分）
∴符合條件的P點坐標有，
（3）如圖，作MF⊥x軸于點F，
在Rt△OFM中，OF=；
在Rt△O₁MF中，O₁F=2t-（2-t）
∵O₁F=2O₁M=2，
∴，
解得：．

分析：過點M作MF⊥x軸，垂足為F，根據MN是切線，M為切點，得到O₁M⊥OM，在Rt△OO₁M中根據正弦值的定義求得∠O₁OM=30°，從而求得MF和OF，最后求得點M的坐標后利用待定系數法求得直線的解析式即可．
（2）過點A作AP₁⊥x軸，與OM交于點P₁．利用Rt△AP₁O∽Rt△MO₁O求得P₁A后即可求得點P₁的坐標；過點A作AP₂⊥OM，垂足為P₂，過P₂點作P₂H⊥OA，垂足為H．
利用Rt△AP₂O∽Rt△O₁MO求得OP₂和OH即可求得P₂的坐標；
（3）首先Rt△OCD中求得OC=；然后在Rt△O₁MC中，求得O₁C=2t-（2-t，然后根據O₁C=2O₁M=2列出有關t的方程即可求得t值．
點評：本題是直線與圓的方程綜合性題，對于存在性的處理方法，先假設存在再由題意用設而不求思想和韋達定理列出關系式，注意驗證所求值的范圍．