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（2013•義烏市）小明合作學習小組在探究旋轉、平移變換．如圖△ABC，DEF均為等腰直角三角形，各頂點坐標分別為A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（
2
，0），E（2
2
，0），F（
3
2
2
，-
2
2
）．
（1）他們將△ABC繞C點按順時針方向旋轉45°得到△A1B1C1．請你寫出點A1，B1的坐標，并判斷A1C和DF的位置關系；
（2）他們將△ABC繞原點按順時針方向旋轉45°，發現旋轉后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線y=2
2
x2+bx+c上，請你求出符合條件的拋物線解析式；
（3）他們繼續探究，發現將△ABC繞某個點旋轉45°，若旋轉后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線y=x2上，則可求出旋轉后三角形的直角頂點P的坐標，請你直接寫出點P的所有坐標．
分析：（1）由旋轉性質及等腰直角三角形邊角關系求解；
（2）首先明確△ABC繞原點按順時針方向旋轉45°后的三角形即為△DEF，然后分三種情況進行討論，分別計算求解；
（3）旋轉方向有順時針、逆時針兩種可能，落在拋物線上的點有點A和點B、點B和點C、點C和點D三種可能，因此共有六種可能的情形，需要分類討論，避免漏解．
解答：解：（1）A1（2-
2
2
，1+
2
2
），B1（2+
2
2
，1+
2
2
）．
A1C和DF的位置關系是平行．

（2）∵△ABC繞原點按順時針方向旋轉45°后的三角形即為△DEF，
∴①當拋物線經過點D、E時，根據題意可得：
2
2
×(
2
)2+
2
b+c=0
2
2
×(2
2
)2+2
2
b+c=0
，
解得
b=-12
c=8
2

∴y=2
2
x2-12x+8
2
；
②當拋物線經過點D、F時，根據題意可得：
2
2
×(
2
)2+
2
b+c=0
2
2
×(
3
2
2
)2+
3
2
2
b+c=-
2
2
，
解得
b=-11
c=7
2

∴y=2
2
x2-11x+7
2
；
③當拋物線經過點E、F時，根據題意可得：
2
2
×(2
2
)2+2
2
b+c=0
2
2
×(
3
2
2
)2+
3
2
2
b+c=-
2
2
，
解得
b=-13
c=10
2

∴y=2
2
x2-13x+10
2
．

（3）在旋轉過程中，可能有以下情形：

①順時針旋轉45°，點A、B落在拋物線上，如答圖1所示：
易求得點P坐標為（0，
1-
2
2
）；
②順時針旋轉45°，點B、C落在拋物線上，如答圖2所示：
設點B′，C′的橫坐標分別為x1，x2．
易知此時B′C′與一、三象限角平分線平行，∴設直線B′C′的解析式為y=x+b，
聯立y=x2與y=x+b得：x2=x+b，即x2-x-b=0，
∴x1+x2=1，x1x2=-b．
∵B′C′=1，∴根據題意易得：|x1-x2|=
2
2
，
∴（x1-x2）2=
1
2
，即（x1+x2）2-4x1x2=
1
2

∴1+4b=
1
2
，解得b=-
1
8
．
∴x2-x+
1
8
=0，解得x=
2+
2
4
或x=
2-
2
4
．
∵點C′的橫坐標較小，∴x=
2-
2
4
．
當x=
2-
2
4
時，y=x2=
3-2
2
8
，
∴P（
2-
2
4
，
3-2
2
8
）；
③順時針旋轉45°，點C、A落在拋物線上，如答圖3所示：
設點C′，A′的橫坐標分別為x1，x2．
易知此時C′A′與二、四象限角平分線平行，∴設直線C′A′的解析式為y=-x+b，
聯立y=x2與y=-x+b得：x2=-x+b，即x2+x-b=0，
∴x1+x2=-1，x1x2=-b．
∵C′A′=1，∴根據題意易得：|x1-x2|=
2
2
，
∴（x1-x2）2=
1
2
，即（x1+x2）2-4x1x2=
1
2

∴1+4b=
1
2
，解得b=-
1
8
．
∴x2+x+
1
8
=0，解得x=
2
-2
4
或x=
-
2
-2
4
．
∵點C′的橫坐標較大，∴x=
2
-2
4
．
當x=
2
-2
4
時，y=x2=
3-2
2
8
，
∴P（
2
-2
4
，
3-2
2
8
）；

④逆時針旋轉45°，點A、B落在拋物線上．
因為逆時針旋轉45°后，直線A′B′與y軸平行，因為與拋物線最多只能有一個交點，故此種情形不存在；
⑤逆時針旋轉45°，點B、C落在拋物線上，如答圖4所示：
與③同理，可求得：P（
2
-2
4
，
3-2
2
8
）；
⑥逆時針旋轉45°，點C、A落在拋物線上，如答圖5所示：
與②同理，可求得：P（
2+
2
4
，
3+2
2
8
）．
綜上所述，點P的坐標為：（0，
1-
2
2
），（
2-
2
4
，
3-2
2
8
），（
2
-2
4
，
3-2
2
8
），（
2+
2
4
，
3+2
2
8
）．
點評：本題考查了旋轉變換與二次函數的綜合題型，難度較大．第（3）問是本題難點所在，解題關鍵是：第一，旋轉方向有兩種可能，落在拋物線上的點有三種可能，因此共有六種可能的情形，需要分類討論；第二，針對每一種可能的情形，按照旋轉方向與旋轉角度，確定圖形形狀并進行計算．
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11
9
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-1
-1
．

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