Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對角線AC與BD交于點O，OE⊥BC，垂足是E．
（1）求證：E是BC的中點；
（2）若在線段BO上存在點P，使得四邊形AOEP為平行四邊形．求證：四邊形ABED是平行四邊形．

Answer 1

（1）證明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∵在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，
∵OE⊥BC，
∴點E是BC中點（三線合一）．

（2）∵四邊形AOEP是平行四邊形，
∴AP=OE，
∵在△APD和△EOB中，
，
∴△APD≌△EOB（AAS），
∴AD=BE，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABED是平行四邊形．
分析：（1）根據等腰梯形的性質，可進行△ABC≌△DCB的判定，繼而得出∠ACB=∠DBC，則OB=OC，利用等腰三角形三線合一的性質可得出結論；
（2）證明△APD≌△EOB，從而得出AD=EB，這樣即可判斷出四邊形ABED是平行四邊形
點評：本題考查了平行四邊形的性質及等腰梯形的性質，解答本題的關鍵要熟練掌握等腰梯形的對角線相等及平行四邊形的性質與判定定理．