Question

31、如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，點M在CD上，DH⊥BM且與AC的延長線交于點E．求證：
（1）△AED∽△CBM；
（2）AE•CM=AC•CD．

Answer 1

分析：（1）由于△ABC是直角三角形，易得∠A+∠ABC=90°，而CD⊥AB，易得∠MCB+∠ABC=90°，利用同角的余角相等可得
∠A=∠MCB，同理可證∠1=∠2，而∠ADE=90°+∠1，∠CMB=90°+∠2，易證∠ADE=∠CMB，從而易證△AED∽△CBM；
（2）由（1）知△AED∽△CBM，那么AE：AD=CB：CM，于是AE•CM=AD•CB，再根據△ABC是直角三角形，CD是AB上的高，易知△ACD∽△CBD，易得AC•CD=AD•CB，等量代換可證AE•CM=AC•CD．

解答：證明：（1）∵△ABC是直角三角形，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
即∠MCB+∠ABC=90°，
∴∠A=∠MCB，
∵CD⊥AB，
∴∠2+∠DMB=90°，
∵DH⊥BM，
∴∠1+∠DMB=90°，
∴∠1=∠2，
又∵∠ADE=90°+∠1，∠CMB=90°+∠2，
∴∠ADE=∠CMB，
∴△AED∽△CBM；
（2）∵△AED∽△CBM，
∴AE：AD=CB：CM，
∴AE•CM=AD•CB，
∵△ABC是直角三角形，CD是AB上的高，
∴△ACD∽△CBD，
∴AC：AD=CB：CD，
∴AC•CD=AD•CB，
∴AE•CM=AC•CD．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、直角三角形斜邊上的高所分成的兩個三角形與這個直角三角形相似．解題的關鍵是證明∠A=∠MCB以及∠ADE=∠CMB．