Question

如圖1，在ΔABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°，小明通過以下計算：由題意，∠B=30°，∠C=90°，c=2b，a=b，得a²-b²=（b）²-b²=2b²=b·c，即a²-b²= bc，于是，小明猜測：對于任意的ΔABC，當∠A=2∠B時，關系式a²-b²=bc都成立。
（1）如圖2，請你用以上小明的方法，對等腰直角三角形進行驗證，判斷小明的猜測是否正確，并寫出驗證過程；
（2）如圖3，你認為小明的猜想是否正確，若認為正確，請你證明；否則，請說明理由；
（3）若一個三角形的三邊長恰為三個連續偶數，且∠A=2∠B，請直接寫出這個三角形三邊的長，不必說明理由。

Answer 1

解：（1） 由題意，得∠A=90°，c=b，a=b，
∴a²-b²=（b）²-b²=b²=bc；
（2） 小明的猜想是正確的，
理由如下：如圖3，延長BA至點D，使AD=AC=b，連結CD，則ΔACD為等腰三角形，
∴∠BAC=2∠ACD，
又∠BAC=2∠B，
∴∠B=∠ACD=∠D，
∴ΔCBD為等腰三角形，
即CD=CB=a，
又∠D=∠D，
∴ΔACD∽ΔCBD，
∴，
即，
∴a²=b²+bc，
∴a²-b²= bc；
（3）a=12，b=8，c=10。