Question

求360的所有正約數的倒數和．

Answer 1

分析：設正整數a的所有正約數之和為b，d₁、d₂、d₃、d₄…d_n為a的所有正約數從小到大的排列，再求出其倒數和的表達式，再把360化為2³×3²×5的形式，進而求出b的值即可得出答案．

解答：解：設正整數a的所有正約數之和為b，d₁、d₂、d₃、d₄…d_n為a的所有正約數從小到大的排列，于是d₁、=1，d₂、d₃、d₄…d_n為a的所有正約數從小到大的排列，于是d₁=1，d_n=a，
由于S=

1

d1

+

1

d2

+

1

d3

+…+

1

dn

中各分數分母的最小公倍數為d_n=a，
故S=

dn

dn

+

dn-1

dn

+

dn-2

dn

+…+

d1

dn

=

d1+d2+d3+…dn

dn

=

b

a

，
而a=360=2³×3²×5，
故b=（1+2+2²×2³）×（1+3+3²）×（1+5）=1170，
所以360的所有正約數的倒數和為：

1170

360

=3

1

4

．
故答案為：3

1

4

．

點評：本題考查的是整數問題的綜合運用，能設出正整數a的所有正約數之和為b，求出其倒數和的表達式是解答此題的關鍵．