Question

如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB為直徑的⊙O交BC于E，D為AC的中點，連DE，BD與OE相交于F．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）若AB=10，OF=2，求BE的長．

Answer 1

證明：（1）連接OD；
∵O、D分別是AB、AC的中點，
∴OD∥BC，
∴∠AOD=∠ABC，∠DOE=∠BEO；
∵OB=OE，
∴∠AOD=∠DOE，
∵OA=OE，OD=OD，
∴△OAD≌△OED，
∴∠OED=∠OAD=90°，
∴DE為⊙O的切線．

（2）∵OF=2，OE=5，
∴EF=3；
∵OD∥BC，OD=BC，
∴OD：BE=OF：EF=2：3；
設DO=2k，BE=3k，
則BC=4k，EC=k，
∵OD∥BC，
∴∠ODA=∠C，又∠OAD=∠AEC=90°，
∴△OAD∽△EAC，
設AD=x，則AC=2k，
∴=，即=，
∴x=k，則AC=2x=2k，
又AB²+AC²=BC²，
即10²+（2k）²=（4k）²，得k=，
則BE=3k=．
分析：（1）連接OD，證AD=DE，證△OAD≌△OED，∠OED=∠OAD=90°即可．
（2）由）OF=2，OE=5可求EF=3，設DO=2k，BE=3k，則BC=4k，EC=k可求AC=2k，由勾股定理解得BE．
點評：本題考查了切線的判定，勾股定理和三角形全等的判定等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．