Question

如圖，已知拋物線y=-3x²-（2c-b）x+a²，其中a、b、c是一個直角三角形的三邊的長，且a＜b＜c，又知這個三角形兩銳角的正弦值分別是方程25x²-35x+12=0的兩個根．
（1）求a：b：c；
（2）設這條拋物線與x軸的左、右交點分別是M、N，與y軸的交點為T，頂點為P，求△MPT的面積（用只含a的代數式表示）；
（3）在（2）的條件下，如果△MPT的面積為9，問拋物線上是否存在異于點P的點Q，使得△QMT的面積與△MPT的面積相等？如果存在，請求出點Q的坐標，如果不存在請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵a、b、c是一個直角三角形的三邊的長，且a＜b＜c，∴c為斜邊，
解方程25x²-35x+12=0，得x₁=，x₂=，即=，=，
∴a：b：c=3：4：5；

（2）過P點作PQ⊥x軸，垂足為Q，由（1）可知b=a，c=a，
則y=-3x²-（2c-b）x+a²=-3x²-2ax+a²，
∴由二次函數的性質，得P（-，a²）、M（-a，0）、T（0，a²），
∴S_△MPT=S_△PMQ+S_梯形PQOT-S_△TMO
=×（-+a）×a²+×（a²+a²）×-×a×a²=a³；

（3）存在．由已知S_△MPT=9，即a³=9，解得a=3，∴M（-3，0）、T（0，9），
直線MT解析式為y=3x+9，拋物線解析式為y=-3x²-6x+9，
過P作PQ∥MT，交拋物線于點Q，
設直線PQ解析式為y=3x+m，將P（-1，12）代入，得y=3x+15，
聯立，解得或，∴Q（-2，9），
將直線PQ向下平移12個單位，得y=3x+3，聯立，
解得或，
∴Q（，）或（，），
綜上所述Q（-2，9）或（，）或（，）．
分析：（1）由已知可判斷c為斜邊，解方程得x₁=，x₂=，即=，=，可求a：b：c；
（2）過P點作PQ⊥x軸，垂足為Q，用a表示P、M、T三點坐標，根據S_△MPT=S_△PMQ+S_梯形PQOT-S_△TMO求面積；
（3）存在．根據已知面積求a的值，確定拋物線解析式及M、T兩點坐標，得出直線MT解析式，過P作PQ∥MT，交拋物線于點Q，求直線PQ解析式，與拋物線解析式聯立，可求Q點坐標，向下平移直線PQ，可求Q點的另外兩個坐標．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據題意求出拋物線解析式，利用割補法求三角形面積，利用平行線求面積相等的三角形頂點坐標．