Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，點D從C點出發沿著CA方向以2個單位每秒的速度向終點A運動，同時點E從點A出發沿AB方向以1個單位每秒的速度向終點B運動。設點D，E的運動時間為t秒，DF⊥BC于F

（1）求證：AE＝DF；

（2）如圖2，連接EF，

①是否存在t，使得四邊形AEFD為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由

②連接DE，當△DEF是直角三角形時，求t的值

圖1 圖2 備用圖 備用圖

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①存在；理由見解析，②當或t=4時，△DEF為直角三角形.

【解析】(1)在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，由已知條件求證；(2)①求得四邊形AEFD為平行四邊形，若使平行四邊形AEFD為菱形則需要滿足AE=AD即可求出t的值.②分三種情況：a.∠EDF=90°時，四邊形EBFD為矩形．在直角三角形AED中求得AD=2AE即求得．b.∠DEF=90°時，由(2)知EF∥AD，則得∠ADE=∠DEF=90°，求得AD=AE·cos60°列式得．c.∠EFD=90°時，此種情況不存在．

（1）證明：∵在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t

∴DF=t

又∵AE=t

∴AE=DF

（2）①存在；理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF，又AE=DF，

∴四邊形AEFD為平行四邊形

∵，

∴，

∴.

若使平行四邊形AEFD為菱形，則需AE=AD，

即 ，

即當時，四邊形AEFD為菱形。

②a. 若∠EDF=90°時，四邊形EBFD為矩形，

在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，

∴AD=2AE，即，；

b. 若∠DEF=90°，由平行四邊形AEFD的性質知EF∥AD，

∴∠ADE=∠DEF=90°，

∵∠A=90°-∠C=60°，

∴AD=AE·cos60°，即，；

c. 若∠EFD=90°，此種情況不存在；

綜上所述，當或時，△DEF為直角三角形.