Question

如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓（不含點A、B）上的一個動點，過C點的切線與AB的延長線交于點P．
（1）試探求∠A與∠P的數量關系；
（2）當∠PCB=30°時，證明：BP=

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AB；
（3）如果過點C的切線與AB的反向延長線相交，這時∠A的取值范圍是多少？

Answer 1

分析：（1）根據弦切角定理可得∠PCB=∠A，根據直徑所對的圓周角是直角表示出∠A與∠B的關系，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式整理即可得解；
（2）先求出∠PCB=∠P=30°，再根據等角對等邊的性質可得BP=BC，然后根據直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得BC=

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AB，然后即可證明；
（3）過點C的切線與AB的反向延長線相交時，點C的位置在弧AB的中點左側，根據同圓中的弧與圓周角的關系可以求出∠A＞∠ABC，再根據直角三角形兩銳角互余進行求解．

解答：（1）解：∵CP是半圓O的切線，
∴∠PCB=∠A，
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，∠ABC=90°-∠A，
又∵∠ABC=∠P+∠PCB=∠P+∠A，
∴90°-∠A=∠P+∠A，
整理得，2∠A+∠P=90°；

（2）證明：∵∠PCB=30°，
∴∠A=30°，
∴∠P=90°-2∠A=90°-2×30°=30°，
∴∠P=∠PCB，
∴BP=BC，
在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，
∴BC=

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AB，
∴BP=

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AB；

（3）解：過點C的切線與AB的反向延長線相交，則點C位于弧AB的中點左側，
∴∠A＞∠ABC，
∴∠A＞

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×90°=45°，
又∠A是Rt△ABC的銳角，
∴∠A的取值范圍是45°＜∠A＜90°．

點評：本題考查了圓的切線性質，弦切角定理，三角形的內角和定理，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，等角對等邊的性質以及圓周角定理，熟記各性質與定理是解題的關鍵．