Question

我們給出如下定義：如果一個三角形的一個內角等于另一個內角的2倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c．
（1）若∠A=2∠B，且∠A=60°，求證：a²=b（b+c）．
（2）如果對于任意的倍角三角形ABC（如圖），其中∠A=2∠B，關系式a²=b（b+c）是否仍然成立？請證明你的結論；
（3）試求出一個倍角三角形的三條邊的長，使這三條邊長恰為三個連續的正整數．

Answer 1

（1）證明：∵∠A=2∠B，且∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，
∴a²+b²=c²，c=2b，
∴a²=c²-b²=（2b）²-b²=3b²=b²+2b²=b²+bc=b（b+c）．

（2）關系式a²=b（b+c）仍然成立．
證明：如圖，延長BA至點D，使AD=AC=b，連接CD．
則△ACD為等腰三角形，
∴∠ACD=∠D，
∵∠BAC為△ACD的一個外角，
∴∠BAC=∠D+∠ACD=2∠D，
∵∠BAC=2∠B，
∴∠B=∠D，
∴CD=BC=a，∠B=∠ACD，
∴BD=AB+AD=b+c，
又∵∠D為△ACD與△CBD的一個公共角，
∴△ACD∽△CBD．…
∴，即，
∴a²=b（b+c）．

（3）若△ABC是倍角三角形，由∠A=2∠B，應有a²=b（b+c），且a＞b．
當a＞c＞b時，設a=n+1，c=n，b=n-1，（n為大于1的正整數）
代入a²=b（b+c），得（n+1）²=（n-1）•（2n-1），
解得：n=5，
∴a=6，b=4，c=5，可以證明這個三角形中，∠A=2∠B；
當c＞a＞b或a＞b＞c時，
均不存在三條邊長恰為三個連續正整數的倍角三角形．
∴邊長為4，5，6的三角形為所求．
分析：（1）由∠A=2∠B，且∠A=60°，可求得∠C=90°，由勾股定理與c=2b，即可證得：a²=b（b+c）；
（2）首先延長BA至點D，使AD=AC=b，連接CD，易證得△ACD與△BCD是等腰三角形，AC=AD=b，BC=CD=a，BD=b+c，又由△ACD∽△CBD，利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案；
（3）由題意得：若△ABC是倍角三角形，由∠A=2∠B，應有a²=b（b+c），且a＞b；然后分別從a＞c＞b，c＞a＞b，a＞b＞c去分析，即可求得符合要求的值．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、勾股定理、一元二次方程的求解方法以及三角形的三邊關系．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與方程思想的應用．