Question

【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是線段BC上一動點（不與點B、C重合），連接AD，延長BC至點E，使得CE＝CD，過點E作EF⊥AD于點F，再延長EF交AB于點M．

（1）若D為BC的中點，AB＝4，求AD的長；

（2）求證：BM＝CD．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析．

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質得到AC＝BC＝2，根據勾股定理即可得到結論；

（2）過M作MH⊥BC于H，連接AE，根據線段垂直平分線的性質得到AE＝AD，求得∠EAC＝∠DAC，根據余角的性質得到∠AME＝∠EAM，根據全等三角形的性質得到CD＝MH，于是得到結論．

（1）∵在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4，

∴AC＝BC＝2，

∵D為BC的中點，

∴CD＝BC＝，

∴；

（2）過M做MH⊥BC于H，連接AE，

∵AC⊥BE，CD＝CE，

∴AE＝AD，

∴∠EAC＝∠DAC，

∵EF⊥AD，

∴∠EFD＝∠ACD＝90°，

∴∠CAD+∠ADC＝∠ADC+∠DEF，

∴∠CAD＝∠DEF，

∴∠EAC＝∠DEF，

∴∠EAC＝∠DEF，

∵∠AME＝∠B+∠BEM，∠EAM＝∠BAC+∠EAC，∠CAB＝∠B＝45°，

∴∠AME＝∠EAM，

∴AE＝EM，

∴AD＝EM，

∵∠ACD＝∠EHM＝90°，

∴△ACD≌△EHM（AAS），

∴CD＝MH，

∴BM＝MH＝CD．