Question

如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+c與x軸正半軸交于點F(16，0)、與y軸正半軸交于點E(0，16)，邊長為16的正方形ABCD的頂點D與原點O重合，頂點A與點E重合，頂點C與點F重合；

1.求拋物線的函數表達式

2.如圖2，若正方形ABCD在平面內運動，并且邊BC所在的直線始終與x軸垂直，拋物線始終與邊AB交于點P且同時與邊CD交于點Q(運動時，點P不與A、B兩點重合，點Q不與C、D兩點重合)。設點A的坐標為(m，n) (m>0)。

      j 當PO=PF時，分別求出點P和點Q的坐標；

      k 在j的基礎上，當正方形ABCD左右平移時，請直接寫出m的取值范圍；

      l 當n=7時，是否存在m的值使點P為AB邊中點。若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

 

1.

2.j P（8，12）k8﹣16＜m＜8l當n=7時，不存在這樣的m值使P為AB的邊的中點

解析:（1）把E（0，16）、F（16，0）坐標代入到拋物線方程中，

    

   解得

  拋物線的函數表達式為：

（2）①過點P做PG⊥x軸于點G，

∵PO=PF，

∴OG=FG，

∵F（16，0），

∴OF=16，

∴OG=，OF=×16=8，

即P點的橫坐標為8，

∵P點在拋物線上，

∵m＞0，

∴y=，

即P點的縱坐標為12，

∴P（8，12），

∵P點的縱坐標為12，正方ABCD邊長是16，

∴Q點的縱坐標為﹣4，

∵Q點在拋物線上，

∴，

∴，

∵m＞0，∴∴，

∴．

 

②8﹣16＜m＜8．

③不存在．

理由：當n=7時，則P點的縱坐標為7，

∵P點在拋物線上，

∴，

∴x₁=12，x₂=﹣12，

∵m＞0

∴x₂=﹣12（舍去）

∴x=12

∴P點坐標為（12，7）

∵P為AB中點，∴，

∴點A的坐標是（4，7），

∴m=4，

又∵正方形ABCD邊長是16，

∴點B的坐標是（20，7），點C的坐標是（20，﹣9），

∴點Q的縱坐標為﹣9，

∵Q點在拋物線上，

∴，

∴x₁=20，x₂=﹣20，

∵m＞0，

∴x₂=﹣20（舍去）

∴x=20，

∴Q點坐標（20，﹣9），

∴點Q與點C重合，這與已知點Q不與點C重合矛盾，

∴當n=7時，不存在這樣的m值使P為AB的邊的中點．