Question

如圖，在矩形ABCD中，BD=20，AD＞AB，設∠ABD=α，已知sinα是方程25x²-35x+12=0的一個實根，點E，F分別是BC，DC上的點，EC+CF=8，設BE=x，△AEF的面積等于y．
（1）求出y與x之間的函數關系式；
（2）當E，F兩點在什么位置時，y有最小值并求出這個最小值．

Answer 1

解：（1）解方程可得sinα₁=或sinα₂=，
∵AD＞AB，
∴sinα=，舍去
取sinα=，則有AD=16，AB=12
∵BE=x，
∴EC=16-x，FC=8-EC=x-8，DF=12-FC=20-x．
則△AEF的面積y=16×12-×12x-×16（20-x）-（16-x）（x-8）
=x²-10x+96（8＜x＜16）．

（2）y=x²-10x+96=（x-10）²+46，
所以當x=10，即BE=10，CF=2時，y有最小值為46．
分析：（1）本題中△AEF的面積無法直接求出，可用梯形ABCF的面積-△ABE的面積-△CEF的面積來求．關鍵是求出AD，BC的長．先通過解方程求出sinα的值，進而可在直角三角形ABD中，根據BD的長和α的正弦值求出AD，AB的長，即可表示出AB、BE、CE、CF的長，然后按上面所說的△AEF的面積計算方法即可求出y，x的函數關系式．
（2）根據（1）得出的函數的性質即可得出y的最小值以及對應的x的值．可根據x的值來確定E、F兩點的位置．
點評：本題主要考查了矩形的性質、解直角三角形、圖形面積的求法及二次函數的綜合應用等知識點．
不規則圖形或無法直接求出的圖形面積通常轉化為規則圖形的面積的和差．