Question

【題目】如圖，在矩形中，，點是邊的中點，和的延長線交于點，點是邊上的一點，且滿足，連接，，且與交于點．

（1）若，求的面積

（2）當是直角三角形時，求所有滿足要求的值．

（3）記，，

①求關于的函數關系．

②當時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）①；②

【解析】

（1）當a=1時，CG=1，BC=3，GC=2，先由矩形的性質及已知證得，求出CF=AD=BC=3，再證得得，然后由等高的面積比等于相似比求得的面積；

（2）分兩種情況：①，②，利用相似三角形的判定與性質求解即可；

（3）①由和可證得，根據同底的三角形面積比等于相似比即可求解關于的函數關系；

②由已知證得，得到，過O作OH⊥AD于H，由勾股定理得關于a的方程，解之得到AD，即可求得.

（1）當a=1時，CG=1，BC=3，GC=2，

矩形中，，

，AD=BC=3，

又，

，

，

∴CF=AD=3，

，

∵,

∴，

，

∵ΔAOG底邊OG上的高與ΔAGD底邊GD的高相等，

（2）

分兩種情形討論

情形①：如圖1，，

∵

∴，又AB=8，

，

易證，

，

，，

易證，

∴

情形②：如圖2，，

∵∠AGB+∠BAG=90，∠AGB+∠DGC=90，

∴∠BAG=∠DGC，

（3）①∵，

∴,

又

∴AE=EF，

又

，

②，

，即，

過O作OH⊥AD于H，則有

，

，

∴AD=BC=12，

.