Question

【題目】（1）操作：如圖，點為線段的中點，直線與相交于點，請利用圖畫出一對以點為對稱中心的全等三角形，（不寫畫法）.

根據上述操作得到的經驗完成下列探究活動：

（2）探究一：如圖，在四邊形中，為邊的中點，與的延長線相交于點，試探究線段與，之間的等量關系，并證明你的結論.

（3）探究二，如圖，相交于點，交于點，且，若，求的長度.

Answer 1

【答案】（1）如圖所示見解析；（2），理由見解析；（3）DF=9.

【解析】

（1）根據全等三角形的判定中的邊角邊為作圖的理論依據，來畫出全等三角形．
（2）通過作輔助線將AB，FC，AF構建到一個相關聯的三角形中，延長交的延長線于點.不難證明△ABE≌△GCE，那么AB=CG，根據，即可得出與，之間的等量關系.

（3）本題的作法與（2）類似，延長DE、CF交于點G，不難得出△ABE∽△GCE，
可根據線段的比例關系和AB的值得到CG的值，然后就能得出FG的值，同（2）可得出△DFG是等腰三角形，那么DF=GF，即可求出DF的值．

（1）如圖所示

連接，過點作交于點.

（2）解：，理由如下：如圖，延長交的延長線于點.

，，，，

.

為中點，

，

，

（3）延長交的延長線于點，如圖

，

，

，

，