Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=CB，O是AC的中點．把△ABC折疊，使AB落在AC上，點B與AC上的點E重合，展開后，折痕AD交BO于點F，連接DE、EF．在下列結論：
①EF平分∠OED；②BD=

1

2

AB；③EF∥BC；④BD=EF
請填上你認為正確的結論的序號

①③④

；并選其中一個加以證明．

Answer 1

分析：由在Rt△ABC中，AB=CB，O是AC的中點，根據等腰直角三角形的性質與折疊的性質，可求得∠AEF=∠FED=45°；
由等腰直角三角形的性質，可得CD=

2

DE，又由DE=BD，即可得BD=（

2

-1）AB；
由∠AEF=∠C=45°，即可證得EF∥BC；
易證得四邊形BDEF是平行四邊形，即可得BD=EF．

解答：解：∵在Rt△ABC中，AB=CB，O是AC的中點，
∴∠OBC=

1

2

ABC=45°，
由折疊的性質可得：∠AED=∠ABD=90°，∠FED=∠FBD=45°，
∴∠AEF=∠AED-∠FED=45°，
∴∠AEF=∠FED，
即EF平分∠OED；
故①正確；
∵BD=ED，
在Rt△DEC中，∠C=45°，
∴CD=

2

DE，
∴CD=

2

BD，
∵BC=AB，
∴BD=

1

2 +1

BC=（

2

-1）AB，
故②錯誤；
∵∠AEF=∠C=45°，
∴EF∥BC；
故③錯誤；
∵∠EDC=90°-∠C=45°，
∴∠EDC=∠OBC=45°，
∴DE∥OB，
∴四邊形BDEF是平行四邊形，
∴BD=EF．
故④正確．
故答案為：①③④．

證明：①在Rt△ABC中，AB=CB，O是AC的中點，
∴∠OBC=

1

2

ABC=45°，
由折疊的性質可得：∠AED=∠ABD=90°，∠FED=∠FBD=45°，
∴∠AEF=∠AED-∠FED=45°，
∴∠AEF=∠FED，
即EF平分∠OED．

點評：此題考查了等腰直角三角形的性質、平行四邊形的判定與性質、平行線的判定以及折疊的性質．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意數形結合思想的應用．