Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與直線AB相交于A（﹣3，0），B（0，3）兩點．

（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設C是拋物線對稱軸上的一動點，求使∠CBA=90°的點C的坐標；
（3）探究在拋物線上是否存在點P，使得△APB的面積等于3？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：把點A（﹣3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c得：

，

解得：

∴拋物線的解析式是y=﹣x2﹣2x+3；

（2）

如圖1：過點B作CB⊥AB，交拋物線的對稱軸于點C，過點C作CE⊥y軸，垂足為點E，

∵y=﹣x2﹣2x+3，

∴拋物線對稱軸為直線x=﹣1，

∴CE=1，

∵AO=BO=3，

∴∠ABO=45°，

∴∠CBE=45°，

∴BE=CE=1，

∴OE=OB+BE=4，

∴點C的坐標為（﹣1，4）；

（3）

假設在在拋物線上存在點P，使得△APB的面積等于3，如圖2：

連接PA，PB，過P作PD⊥AB于點D，作PF∥y軸交AB于點F，在Rt△OAB中，易求AB==，

∵S△APB=3，

∴PD=

∵∠PFD=∠ABO=45°，

∴PF=2，

設點P的坐標為（m，﹣m2﹣2m+3），

∵A（﹣3，0），B（0，3），

∴直線AB的解析式為y=x+3，

∴可設點F的坐標為（m，m+3），

①當點P在直線AB上方時，

可得：﹣m2﹣2m+3=m+3+2，

解得：m=﹣1或﹣2，

∴符合條件的點P坐標為（﹣1，4）或（﹣2，3），

②當點P在直線AB下方時，

可得：﹣m2﹣2m+3=m+3﹣2，

解得：m=或，

∴符合條件的點P坐標為（，）或（，）

綜上可知符合條件的點P有4個，坐標分別為：（﹣1，4）或（﹣2，3）或（，）或（，）．

【解析】（1）把點A（﹣3，0），B（0，3）兩點的坐標分別代入拋物線解析式求出b和c的值即可；
（2）過點B作CB⊥AB，交拋物線的對稱軸于點C，過點C作CE⊥y軸，垂足為點E，易求點C的橫坐標，再求出OE的長，即可得到點C的縱坐標；
（3）假設在在拋物線上存在點P，使得△APB的面積等于3，連接PA，PB，過P作PD⊥AB于點D，作PF∥y軸交AB于點F，在Rt△OAB中，易求AB==3，設點P的坐標為（m，﹣m2﹣2m+3），設點F的坐標為（m，m+3），再分兩種情況①當點P在直線AB上方時，②當點P在直線AB下方時分別討論求出符合條件點P的坐標即可．