Question

(滿分l6分)如圖5—9，已知點O為坐標原點，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且點A的坐標為(2，0)。
(1)求點B的坐標；
(2)若二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過A，B，O三點，求此二次函數的解析式；
(3)在(2)中的二次函數圖象的OB段(不包括點O，B)上，是否存在一點C，使得四邊形ABCO的面積最大?若存在，求出這個最大值及此時點C的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：(1)在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴OB=.過點B作x
軸的垂線BD，垂足為D，如圖D5—4所示．則OD=，BD=，∴點
B的坐標為(，)．                              ……2分
(2)將A(2，0)，B(，)，O(0，0)三點的坐標代入y=ax²+bx+c，得
     4a+2b+c
a+b+c=，                               ……4分
c=0．
解方程組，得a=一，b=．c="0                " ……5分
∴所求二次函數解析式是y=一x² +x．         ……6分
(3)設存在點c(x，一x² +x)(其中0<x<)，使四邊形ABCO面積最大．
∵△OAB面積為定值，即S_△OAB=OA·BD=．
∴只要△OBC面積最大，四邊形ABCO面積就最大．                 ……8分
如圖D5—4，過點C作x軸的垂線CE，垂足為點E，交OB于點F，則
S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF=︱CF︱·︱OE︱+︱CF︱·︱ED︱=︱CF︱·︱OD︱=︱CF︱．                                                           ……9分
而︱CF︱=y_C-y_F=-x²+x-x=-x²+x，
∴S_△OBC=- x²+x=-(x-)²+．                    ……12分
∴當x=時，△OBC最大面積, 最大面積為．                  ……l4分
此時，點C坐標為(，)，四邊形ABCO的面積為．      ……16分

解析