Question

18．如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的邊OC，OA分別在x軸正半軸上和y軸負半軸上，且A（0，-2）．
（1）E、F分別為OC、OA上的動點，且∠OFE=45°，是否存在E、F，使得BE⊥CF？若存在，求出E、F的坐標，若不存在，請說明理由．
（2）F在線段OA上，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，當F在線段OA上運動時（不與O，A重合），$\frac{BM-OM}{AN}$的值是否發生變化，若變化，求出變化的范圍；若不變，求其值．

Answer 1

分析 （1）由△COF≌△BCEM得EC=OF，由∠OFE=45可知OE=OF，所以點E是OC中點即可解決問題．
（2）作AH⊥OM交OM的延長線于H，先證明四邊形AHMN是正方形，根據線段和差定義即可解決問題．

解答 解：（1）存在．如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CO=OA=2，∠ECB=90°，
∵BE⊥CF，
∴∠OCF+∠FCB=90°，∠FCB+∠CBE=90°，
∴∠OCF=∠ECB，
在△BCE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCF=∠CBE}\\{OC=CB}\\{∠COF=∠ECB}\end{array}\right.$，
∴△COF≌△BCEM，
∴EC=OF，
∵∠OFE=45°，∠FOE=90°，
∴∠OFE=∠OEF=45°，
∴OF=OE=EC=$\frac{1}{2}$OC=1，
∴E（1，0），F（0，-1）．
（2）$\frac{BM-OM}{AN}=2$，不發生變化，理由如下：
如圖2中，作AH⊥OM交OM的延長線于H，
∵∠HOA+∠OFM=90°，∠ABN+∠AFB=90°，∠OFM=∠AFB，
∴∠HOA=∠ABN，
∵AN⊥BF，
∴∠ANB=∠H=90°，
在△AOH和△ANB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HOA=∠ABN}\\{∠H=∠ANB=90°}\\{AO=AB}\end{array}\right.$，
∴△AOH≌△ABN，
∴AN=AH，OH=BN，
∵∠H=∠ANM=∠HMN=90°，
∴四邊形AHMN是矩形，
∵AH=AN，
∴四邊形AHMN是正方形，
∴AH=AN=MN=HM，
∴$\frac{BM-OM}{AN}$=$\frac{MN+BN-（OH-HM）}{AN}$=$\frac{2MN}{AN}$=2．

點評 本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、平面直角坐標系等知識，作輔助線構造全等三角形是解決問題的關鍵．