Question

【題目】如圖， 為等邊三形內的一點， ，將線段以點為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段，下列結論:①點與點的距離為5；②；③可以由繞點進時針旋轉60°得到；④點到的距離為3；⑤，其中正確的有( )

A.2個B.3個C.4個D.5個

Answer 1

【答案】B

【解析】

連結DD′，根據旋轉的性質得AD＝AD′，∠DAD′＝60°，可判斷△ADD′為等邊三角形，則DD′＝5，可對①進行判斷；由△ABC為等邊三角形得到AB＝AC，∠BAC＝60°，則把△ABD逆時針旋轉60°后，AB與AC重合，AD與AD′重合，于是可對③進行判斷；再根據勾股定理的逆定理得到△DD′C為直角三角形，則可對②④進行判斷；由于S四邊形ADCD′＝S△ADD′＋S△D′DC，利用等邊三角形的面積公式和直角三角形面積公式計算后可對⑤進行判斷．

解：連結DD′，如圖，

∵線段AD以點A為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段AD′，

∴AD＝AD′，∠DAD′＝60°，

∴△ADD′為等邊三角形，

∴DD′＝5，所以①正確；

∵△ABC為等邊三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴把△ABD逆時針旋轉60°后，AB與AC重合，AD與AD′重合，

∴△ACD′可以由△ABD繞點A逆時針旋轉60°得到，所以③正確；

∴D′C＝DB＝4，

∵DC＝3，

在△DD′C中，∵32＋42＝52，

∴DC2＋D′C2＝DD′2，

∴△DD′C為直角三角形，

∴∠DCD′＝90°，

∵△ADD′為等邊三角形，

∴∠ADD′＝60°，

∴∠ADC≠150°，所以②錯誤；

∵∠DCD′＝90°，

∴DC⊥CD′，

∴點D到CD′的距離為3，所以④正確；

∵S四邊形ADCD′＝S△ADD′＋S△D′DC＝，所以⑤錯誤．

故選：B．