Question

【題目】“半角型”問題探究：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系.小明同學的方法是將△ABE繞點A逆時針旋轉120°到△ADG的位置，然后再證明△AFE≌△AFG，從而得出結論：EF=BE+DF

(1)如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B +∠D=180°，E，F分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD,上述結論是否仍然成立，并說明理由.

(2)實際應用：

如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離？

拓展提高

（3）如圖4，邊長為5的正方形ABCD中，點E、F分別在AB、CD上，AE=CF=1，O為EF的中點，動點G、H分別在邊AD、BC上，EF與GH的交點P在O、F之間（與0、F不重合），且∠GPE=45°，設AG=m，求m的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）結論EF=BE+DF仍然成立，理由見解析；（2）此時兩艦艇之間的距離是210海里；

（3）①，②＜m≤．

【解析】（1）延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；
（2）連接EF，延長AE、BF相交于點C，然后與（1）同理可證．

（3）分別探討當P與O重合和H與C重合時，即可求出m的取值范圍.