Question

如圖，已知A（0，1）、D（4，3），P是以AD為對角線的矩形ABDC內部（不在各邊上）的一個動點，點C在y軸上，拋物線y=ax²+bx+1以P為頂點．
（1）能否判斷拋物線y=ax²+bx+1的開口方向？請說明理由．
（2）設拋物線y=ax²+bx+1與x軸有交點F、E（F在E的左側），△EAO與△FAO的面積之差為3，且這條拋物線與線段AD有一個交點的橫坐標為，這時能確定a、b的值嗎？若能，請求出a、b的值；若不能，請確定a、b的取值范圍．（本題的圖形僅供分析參考用）

Answer 1

解：（1）能判斷拋物線開口向下．
∵y=ax²+bx+1經過點A（0，1），
∴點P的位置高于點A，說明點P不是拋物線的最低點，
∴點P是拋物線的最高點．
∴拋物線y=ax²+bx+1的開口向下．

（2）如圖，設拋物線與x軸的交點坐標為F（x₁，0）、E（x₂，0），
則x₁＜0，x₂＞0
S_△AEO=OE•OA=x₂；
S_△AFO=OF•OA=x₁
∵S_△AEO-S_△AFO=3
∴x₂-（x₁）=3，即x₁+x₂=6
∵x₁+x₂=+=
∴=6，即b=-6a①
另一方面，設直線AD的解析式為y=kx+m，
并把點A（0，1）、D（4，3）的坐標代入解析式得，解得，∴
由于拋物線與線段AD有一個交點的橫坐標為，所以縱坐標=
把點（，）的坐標代入y=ax²+bx+1，
整理得49a+14b=7②
解由①②組成的方程組得，．
分析：（1）由y=ax²+bx+1可知拋物線過點（0，1），即A點，而頂點P在正方形內部，可判斷拋物線開口向下；
（2）已知OA=1，設F（x₁，0）、E（x₂，0），利用△EAO與△FAO的面積之差為3，可求x₁+x₂=6的值，再利用兩根關系求a、b的一個關系式，求直線AD的解析式，根據D點橫坐標為，求D點縱坐標，代入拋物線解析式，得到a、b的另外一個關系式，解方程組求a、b的值．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據拋物線的頂點不是最高點，就是最低點，判斷開口方向，根據面積關系，及拋物線所經過的點，列方程組求a、b的值．