Question

（2012•吳中區一模）如圖，四邊形OABC是面積為4的正方形，函數y=

k

x

（x＞0）的圖象經過點B．
（1）求k的值；
（2）以原點O為位似中心，將正方形OABC放大，使變換后的正方形OMQN與正方形OABC對應的比為2：1，且正方形OMQN在第一象限內與函數y=

k

x

（x＞0）的圖象交于點F、F，求經過三點F、B、E的拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）由于四邊形OABC是面積為4的正方形，易求其邊長，從而易知點B的坐標，而點B在反比例函數上，代入可求k；
（2）根據兩個正方形的位似比是2：1，易求正方形OMQN的邊長，進而可知點E的橫坐標、F的縱坐標都是4，而點E、F在反比例函數圖象上，代入可分別求出點E、F的坐標，先設所求拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，再把點EFB的坐標代入，可得關于a、b、c的三元一次方程組，解可求a、b、c的值，進而可得拋物線的解析式．

解答：解：（1）∵四邊形OABC是面積為4的正方形，
∴OA=AB=2，
∴點B的坐標是（2，2），
又∵點B在y=

k

x

上，
∴k=4；

（2）∵OM：OA=2：1，OA=2，
四邊形OMQN是正方形，
∴OM=QM=4，
∴點E的橫坐標是4，點F的縱坐標是4，
∵點E、F在反比例函數上，
∴點E坐標是（4，1），點F的坐標是（1，4），
設所求拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，
把（2，2）、（1，4）、（4，1）代入拋物線解析式，可得

4a+2b+c=2 a+b+c=4 16a+4b+c=1

，
解得

a= 1 2 b=- 7 2 c=7

，
∴所求拋物線的解析式是y=

1

2

x²-

7

2

x+7．

點評：本題時反比例函數綜合題，解題的關鍵是掌握點和函數解析式的關系，會使用待定系數法求函數解析式，以及正方形的性質．