Question

【題目】觀察下列等式，探究發現規律，并解決問題，

①；

②；

③；

（1）直接寫出第④個等式： ；

（2）猜想第個等式（用含字母的式子表示），并說明這個等式的正確性；

（3）利用發現的規律，求的值．（參考數據：）

Answer 1

【答案】（1）35﹣34＝2×34；（2）猜想：第n個等式為：3n+1﹣3n＝2×3n．理由見解析；（3）88572

【解析】

（1）根據已知規律寫出④即可．

（2）根據已知規律寫出n個等式，利用提公因式法即可證明規律的正確性．

（3）根據發現的規律得到（32-31）+（33-32）+（34-33）+…+（311-310）=2（31+32+33+…+310），依此可求31+32+33+…+310的值．

（1）①；

②；

③；

∴第④個等式：35-34=2×34；

故答案為：35-34=2×34；

（2）猜想：第n個等式為：3n+1﹣3n＝2×3n．

理由如下：

∵3n+1﹣3n＝3×3n﹣3n＝（3﹣1）×3n＝2×3n，

∴3n+1﹣3n＝2×3n；

（3）根據發現的規律，有：311﹣310＝2×310，

∴（32﹣31）+（33﹣32）+（34﹣33）+…+（311﹣310）＝2（31+32+33+…+310），

∴311﹣31＝2（31+32+33+…+310），

即31+32+33+…+310＝(311﹣3）．

∵311＝177147，

∴31+32+33+…+310＝(177147﹣3）＝88572．