Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx+c經過A（﹣2，0）、B（8，0）、C（0，4）三點，頂點為D，連結AC，BC．

（1）求拋物線的函數表達式及頂點D的坐標；

（2）判斷三角形ABC的形狀，并說明理由；

（3）如圖2，點P是該拋物線在第一象限內上的一點．

①過點P作y軸的平行線交BC于點E，若CP=CE，求點P的坐標；

②連結AP交BC于點F，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x+4，頂點D坐標為（3，）；（2）三角形ABC是直角三角形，理由詳見解析；（3）①P（4，6）；②．

【解析】

(1)設拋物線的解析式為y=a（x+2)(x-8)，將點C的坐標代入可求得a的值，從而得到拋物線的解析式，然后依據拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸方程，將x=3代入可求得拋物線的頂點坐標.

(2)根據三角形ABC是直角三角形，求得AC2+BC2=AB2，即可利用勾股定理進行證明.

(3)①如圖1所示：作CM⊥PE，垂足為M．先利用待定系數法求得BC的解析式，

設點P（m，﹣ m2+m+4），則點E（m，﹣ m+4)﹐M(m，4)，接下來依據等腰三角形的性質可得到PM=EM，從而得到關于m的方程，于是可求得點P的坐標.

②作PN⊥BC，垂足為N．先證明△PNE△COB，由相似三角形的性質可知PN與PE的關系，然后再證明△PFN△CAF，由相似三角形的性質可得到PF：AF與m的函數關系式，從而可求得最大值.

（1）設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣8）．

∵拋物線經過點C（0，4），

∴﹣16a=4，解得a=﹣．

∴拋物線的解析式為y=﹣（x+2）（x﹣8）=x2+x+4．

∵A（﹣2，0）、B（8，0），

∴拋物線的對稱軸為x=3．

∵將x=3代入得：y=，

∴拋物線的頂點D坐標為（3，）．

（2）三角形ABC是直角三角形，理由如下：

∵AB=10，AC=2，BC=4，

∴AC2+BC2=AB2．

∴∠BCA=90°，所以三角形ABC是直角三角形.

(3) ①如圖1所示：作CM⊥PE，垂足為M．

設直線BC的解析式為y=kx+b．

∵將B、C的坐標代入得：，解得k=﹣，b=4，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+4．

設點P（m，﹣ m2+m+4），則點E（m，﹣ m+4），M（m，4）．

∵PC=EC，CM⊥PE，

∴PM=EM．

∴﹣m2+m+4﹣4=4﹣（﹣m+4），解得：m=0（舍去），m=4．

∴P（4，6）．

②作PN⊥BC，垂足為N．

由①得：PE=﹣m2+2m．

∵PE∥y軸，PN⊥BC，

∴∠PNE=∠COB=90°，∠PEN=∠BCO．

∴△PNE∽△BOC．

∴=．

∴PN=PE=（﹣m2+2m）．

由（2）知∠BCA=90°，

又∵∠PFN=∠CFA，

∴△PFN∽△CAF．

∴=﹣m2+m．

∴當m=4時，的最大值為．