Question

【題目】已知，如圖，在中，，以為直徑作分別交，于，兩點，過點的切線交的延長線于點．下列結論：

①；②兩段劣弧=；③與相切；④．

其中一定正確的有（ ）個．

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由等腰三角形性質得到∠OEB=∠ABC=∠ACB，從而可得OE∥AC；

②連接OD，由平行線的性質和等腰三角形的性質證得∠BOE=∠EOD，從而得到=；

③由SAS證得△OBF≌△ODF，即可得到∠OBF=∠ODF．根據切線的性質可得∠OBF=90°，則有∠ODF=90°，即可得到DF與⊙O相切；

④由OE∥AC，得出△BOE∽△BAC，根據相似三角形的性質即可得到=（）2=，△BDE的面積≠△BOE的面積，得出④不一定正確，即可得出結論．

①∵AB=AC，OB=OE，∴∠ABC=∠ACB，∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠ACB，∴OE∥AC，故①正確；

②連接OD，如圖所示：

∵OE∥AC，∴∠BOE=∠OAD，∠EOD=∠ADO．

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠BOE=∠EOD，∴=，故②正確；

③在△OBF和△ODF中，∵，∴△OBF≌△ODF（SAS），∴∠OBF=∠ODF．

∵BF與⊙O相切于點B，∴∠OBF=90°，∴∠ODF=90°，∴DF與⊙O相切，故③正確；

④∵OE∥AC，∴△BOE∽△BAC，∴=（）2=（）2=，而△BDE的面積≠△BOE的面積，故④不正確；正確的有3個．

故選C．