Question

已知正方形ABCD的邊長為6cm，點E是射線BC上的一個動點，連接AE交射線DC于點F，將△ABE沿直線AE翻折，點B落在點B′處．
小題1:當=1時，CF=_____cm；
小題2:當 =2時，求sin∠DAB′的值；
小題3:當 =x時（點C與點E不重合），求△ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y與x的關系式．

Answer 1

小題1:CF=6cm
小題2:sin∠DAB′=  或sin∠DAB′= ．
小題3:y= 或 y= ．

本題考查為四邊形和三角形的相似。
解：（1）CF=6cm．………2’
（2）①如圖1．當點E在BC上時，延長AB′交DC于點M．
∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴．
∵=2，∴CF=3；∵AB∥CF，∴∠BAE=∠F；又∠BAE=∠B′AE，∴∠B′AE=∠F，∴MA=MF．
令MA=MF=k，則MC=k-3，DM=9-k．
在Rt△ADM中，由勾股定理得：k²=（9-k）²+6²，
解得k="MA=" ，∴DM= ．……3’∴sin∠DAB′= ．……4’
②如圖2．當點E在BC延長線上時，延長AD交B′E于點N，同①可得NA=NE．
設NA=NE=m，則B′N=12-m，在Rt△AB′N中，由勾股定理，得m²=（12-m）²+6²，
解得m="AN=" ， ∴B′N= ，在Rt△AB′N中，由勾股定理，得m²=（12-m）²+6²，
解得m="AN=" ，∴B′N= ，……5’∴sin∠DAB′= ．………6’
（3）當=x時，正方形ABCD的邊長為6cm，△ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y．當點E在BC上時．∵=x，∴= ，BE= ，∴y= ×AB×BE，即y= ．…8’
②當點E在BC延長線上時，△ADF的面積為所求．
∵=x，∴= ，又∵AD=6，∴FC= ，DF="6-" ；∴，
∴y= ．