Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，切線DE交AC于點E．

（1）求證：∠A＝∠ADE；

（2）若AD＝16，DE＝10，求BC的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)15.

【解析】

（1）只要證明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解決問題；
（2）首先證明AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC==12，

設BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2-202，可得x2+122=（x+16）2-202，解方程即可解決問題．

（1）證明：連接OD，

∵DE是切線，

∴∠ODE＝90°，

∴∠ADE+∠BDO＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠B＝90°，

∵OD＝OB，

∴∠B＝∠BDO，

∴∠ADE＝∠A．

（2）連接CD．

∵∠ADE＝∠A，

∴AE＝DE，

∵BC是⊙O的直徑，∠ACB＝90°，

∴EC是⊙O的切線，

∴ED＝EC，

∴AE＝EC，

∵DE＝10，

∴AC＝2DE＝20，

在Rt△ADC中，DC＝＝12，

設BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+122，在Rt△ABC中，BC2＝（x+16）2﹣202，

∴x2+122＝（x+16）2﹣202，

解得x＝9，

∴BC＝＝15．