Question

（1）操作并觀察：如圖a，兩個半徑為r的等圓⊙O₁與⊙O₂外切于點P．將三角板的直角頂點放在點P，再將三角板繞點P旋轉，使三角板的兩直角邊中的一邊PA與⊙O₁相交于A，另一邊PB與⊙O₂相交于點B（轉動中直角邊與兩圓都不相切）．在轉動過程中；線段AB的長與半徑r之間有什么關系？請回答并證明你得到的結論；
（2）如圖b，設⊙O₁與⊙O₂外切于點P，半徑分別為r₁、r₂（r₁＞r₂），重復（1）中的操作過程，觀察線段AB的長度與r₁、r₂之間有怎樣的關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）連接O₁O₂，O₁A，O₂B．
∵O₁P=O₁A，O₂P=O₂B，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠AO₁P=180°-2∠1，∠BO₂P=180°-2∠4．
∵∠APB=90°，
∴∠2+∠4=90°，
∴∠AO₁P+∠BO₂P=360°-2（∠2+∠4）=180°，
∴AO₁∥BO₂．
又∵AO₁=BO₂=r，
所以四邊形O₁O₂BA是平行四邊形，有AB=O₁O₂=2r．

（2）連接O₁O₂，O₁A，O₂B．
∵O₁P=O₁A，O₂P=O₂B，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠AO₁P=180°-2∠1，∠BO₂P=180°-2∠4．
∵∠APB=90°，
∴∠2+∠4=90°，
∴∠AO₁P+∠BO₂P=360°-2（∠2+∠4）=180°，
∴AO₁∥BO₂，
故有AB＞O₁O₂=r₁+r₂．
分析：（1）要證四邊形O₁O₂BA是平行四邊形，只需證明AB=O₁O₂=2r；
（2）結合AO₁∥BO₂，作BC∥O₁O₂．有∠ACB=∠O₂O₁A，O₁O₂=BC．在△ABC中，由大角對大邊知，AB＞BC．故有AB＞O₁O₂=r₁+r₂．
點評：本題利用了等邊對等角，平行四邊形的判定和性質求解．