Question

【題目】已知拋物線的函數解析式為，若拋物線經過點，對稱軸為直線．

（1）求拋物線的解析式．

（2）已知實數，請證明：，并說明為何值時才會有．

（3）若拋物線先向上平移4個單位，再向左平移1個單位后得到拋物線，設，是上的兩個不同點，且滿足：，，.請你用含有的表達式表示出的面積，并求出的最小值及取最小值時一次函數的函數解析式．

（參考公式：在平面直角坐標系中，若，則兩點間的距離）

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明詳見解析，當且僅當x＝1時，成立；（3），SΔAOB的最小值為1，直線OA的一次函數解析式為y＝x

【解析】

（1）直接利用待定系數法求出解析式即可；

（2）利用平方的非負數可知：，移項即可解答；

（3）根據平移規則得到的解析式：. 則Ａ(m，m２)，B（n，n２），利用勾股定理列式求得：，代入面積公式得到SΔAOB===，再利用（2）中結論即可得出結論．

（1）∵ 拋物線過點，

∴，∴，

∴.

又∵ 拋物線的對稱軸為直線

∴ ，即.

∴ 拋物線的解析式為.

（2） ∵，∴，

∴，當且僅當x＝1時，成立.

（3）由（1）知拋物線解析式為，

拋物線是拋物線先向上平移4個單位，再向左平移1個單位后得到的，

∴ 拋物線的解析式為.

∵，是上的兩個不同點，

∴Ａ(m，m２)，B（n，n２）.

又∵，，，

∴ OA2+OB2=AB2，

∴ m2＋m4＋n2＋n4＝(m－n)2＋(m2－n2)2，

化簡得：.

∵ SΔAOB==

.

由（2）知：當且僅當時，上式等號成立.

又∵，，且，

∴，，

∴ SΔAOB的最小值為１，此時m＝1，Ａ(1,1)，

∴ 直線OA的一次函數解析式為y＝x．