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【題目】如圖1Rt△ACB 中,C=90°,點DAC上,CBD=∠A,過A、D兩點的圓的圓心OAB上.

1)利用直尺和圓規在圖1中畫出O(不寫作法,保留作圖痕跡,并用黑色水筆把線條描清楚);

2)判斷BD所在直線與(1)中所作的O的位置關系,并證明你的結論;

3)設OAB于點E,連接DE,過點EEFBC,F為垂足,若點D是線段AC的黃金分割點(即),如圖2,試說明四邊形DEFC是正方形.

【答案】1)作圖見解析;(2BD與⊙O相切;(3)證明見解析.

【解析】試題分析:1)如圖1,作線段AD的垂直平分線交ABO,然后以點O為圓心,OA為半徑作圓;

2)連接OD,如圖1,利用A=∠ODA、CBD=∠A得到CBD=∠ODA,則可證明ODB=90°,然后根據切線的判定方法可判斷BDO的切線;

3先證明CDB∽△CBA得到CB2=CDCA,再根據黃金分割的定義得到AD2=CDAC,則AD=CB,接著證明ADE≌△BCD得到DE=DC,易得四邊形CDEF為矩形,然后根據正方形的判定方法可判斷四邊形DEFC是正方形.

試題解析:解:(1)如圖1,O為所作;

2BDO相切.理由如下:

連接OD,如圖1OA=OD,∴∠A=∠ODA∵∠CBD=∠A,∴∠CBD=∠ODA∵∠C=90°,∴∠CBD+∠CDB=90°,∴∠ODA+∠CDB=90°,∴∠ODB=90°ODBD,BDO的切線;

3∵∠CBD=∠A,DCB=∠BCA,∴△CDB∽△CBA,CDCB=CBCA,CB2=CDCA,D是線段AC的黃金分割點,AD2=CDAC,AD=CBAE為直徑,∴∠ADE=90°,在ADEBCD,∵∠A=∠CBD,AD=BCADE=∠C,∴△ADE≌△BCDDE=DC,EFBC,∴∠EFC=90°,四邊形CDEF為矩形,四邊形DEFC是正方形.

練習冊系列答案
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