Question

【題目】如圖1，Rt△ACB 中，∠C=90°，點D在AC上，∠CBD=∠A，過A、D兩點的圓的圓心O在AB上．

（1）利用直尺和圓規在圖1中畫出⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線條描清楚）；

（2）判斷BD所在直線與（1）中所作的⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（3）設⊙O交AB于點E，連接DE，過點E作EF⊥BC，F為垂足，若點D是線段AC的黃金分割點（即），如圖2，試說明四邊形DEFC是正方形．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）BD與⊙O相切；（3）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）如圖1，作線段AD的垂直平分線交AB于O，然后以點O為圓心，OA為半徑作圓；

（2）連接OD，如圖1，利用∠A=∠ODA、∠CBD=∠A得到∠CBD=∠ODA，則可證明∠ODB=90°，然后根據切線的判定方法可判斷BD為⊙O的切線；

（3）先證明△CDB∽△CBA得到CB2=CDCA，再根據黃金分割的定義得到AD2=CDAC，則AD=CB，接著證明△ADE≌△BCD得到DE=DC，易得四邊形CDEF為矩形，然后根據正方形的判定方法可判斷四邊形DEFC是正方形．

試題解析：解：（1）如圖1，⊙O為所作；

（2）BD與⊙O相切．理由如下：

連接OD，如圖1，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∵∠CBD=∠A，∴∠CBD=∠ODA，∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°，∴∠ODA+∠CDB=90°，∴∠ODB=90°，∴OD⊥BD，∴BD為⊙O的切線；

（3）∵∠CBD=∠A，∠DCB=∠BCA，∴△CDB∽△CBA，∴CD：CB=CB：CA，∴CB2=CDCA，∵點D是線段AC的黃金分割點，∴AD2=CDAC，∵AD=CB，∵AE為直徑，∴∠ADE=90°，在△ADE和△BCD中，∵∠A=∠CBD，AD=BC，∠ADE=∠C，∴△ADE≌△BCD，∴DE=DC，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∴四邊形CDEF為矩形，∴四邊形DEFC是正方形．