Question

直線y=-

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x+6分別與x，y軸交點為C，A，BC=AC，AE平分∠CAO，OD平分∠AOC交AE于點D，連接BD交y軸于點F，點P從點B出發沿線段BC勻速運動，速度為5單位/秒，同時點Q從點C出發沿線段CA勻速運動，速度為5單位/秒，設點P，Q的運動時間為t秒．
（1）求線段BE的長．
（2）若△PEQ的面積為S，在點P，Q的運動過程中，求S與t的函數關系式，直接寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分別把x=0和y=0代入一次函數解析式，求出OA、OC值，求出AC、BC，得出OB的值，根據角平分線性質求出OE，即可求出BE；
（2）過Q作QM⊥OC于M，分為兩種情況：當P在BE上時，求出QM，根據三角形的面積公式求出即可；當P在CE上時，根據三角形的面積公式求出即可．

解答：解：（1）∵y=-

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x+6，
∴當x=0時，y=6，
當y=0時，x=8，
∴A（0，6），C（8，0），
∴OA=6，OC=8，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC=

82+62

=10，
∵BC=AC，
∴OB=10-8=2，
∴B（-2，0），
∵AE平分∠CAO，
∴

OA

AC

=

OE

CE

，
∴

6

10

=

OE

8-OE

，
∴OE=3，
∴BE=2+3=5．
答：BE長是5；


（2）過Q作QM⊥OC于M，
根據題意得：CQ=5t，
∵sin∠ACB=

OA

AC

=

6

10

=

QM

CQ

，
∴QM=3t，
當P在線段BE上時，即0＜t＜1，S_△PQE=

1

2

×PE×QM=

1

2

×（5-5t）×3t=-

15

2

t²+

15

2

t；
當P在EC上時，即1＜t≤2，S=

1

2

×PE×QM=

1

2

×（5t-5）×3t=

15

2

t²-

15

2

t；
綜合上述：S與t的函數關系式是：

S=- 15 2 t2+ 15 2 t(0＜t＜1) S= 15 2 t2- 15 2 t(1＜t≤2)

．

點評：本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積，解直角三角形，角平分線性質的應用，通過做此題培養了學生的分析問題和解決問題的能力，題目比較典型，是一道比較好的題目．