Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點E、F分別在AC，AB上，連接EF.

（1）將△ABC沿EF折疊，使點A落在AB邊上的點D處，如圖1，若S四邊形ECBD=2S△EDF，求AE的長；

（2）將△ABC沿EF折疊，使點A落在BC邊上的點M處，如圖2，若MF⊥CB.

①求AE的長；②求四邊形AEMF的面積；

（3）若點E在射線AC上，點F在邊AB上，點A關于EF所在直線的對稱點為點P，問：是否存在以PF、CB為對邊的平行四邊形，若存在，求出AE的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②；（3）或6.理由見解析.

【解析】

（1）先判斷出S△ABC=4S△AEF，再求出AB，判斷出Rt△AEF∽Rt△ABC，得出 ，代值即可得出結論；

（2）先判斷出四邊形AEMF是菱形，再判斷出△CME∽△CBA得出比例式，代值即可得出結論；

（3）分兩種情況，利用平行四邊形的性質，對邊平行且相等，最后用勾股定理即可得出結論.

（1）∵△ABC沿EF折疊，折疊后點A落在AB上的點D處，

∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，

∴S△AEF=S△DEF，

∵S四邊形ECBD=2S△EDF，

∴S△ABC=4S△AEF，

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴AB=5，

∵EF⊥AB，

∴∠AFE=∠ACB，

∴Rt△AEF∽△Rt△ABC，

∴，

即：，

∴；

（2）①∵△ABC沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點M處，

∴AE=ME，AF=MF，∠AFE=∠MFE，

∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，

∴AE=EM=MF=AF，

∴四邊形AEMF是菱形，

設AE=x，則EM=x，CE=4－x，

∵四邊形AEMF是菱形，

∴EM∥AB，

∴△CME∽△CBA，

∴，

∴，

∴，，

即：，

②由①知，，，

∴；

（3）①如圖3，當點E在線段AC上時，∵PF與CB是平行四邊形的對邊，

∴PF//CB，PF=CB，由對稱性知，PF=AF，AE=PE，

∴PF=AF=BC=3，

設AE=PE=a，

∵PF∥CB，

∴△AOF∽△ACB，∠AOF=∠ACB=90°，

∴，

∴，

∴，，

∴，，

在Rt△OPE中，，

∴，

∴，

即：；

②如圖4，當點E在線段AC的延長線上時，延長PF交AC于O，

同理：，，

在Rt△OPE中，，

∴，

∴，

∴，

即：或6.