Question

拋物線的頂點為M，與軸的交點為A、B（點B在點A的右側），△ABM的三個內角∠M、∠A、∠B所對的邊分別為m、a、b。若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根。

（1）判斷△ABM的形狀，并說明理由。

（2）當頂點M的坐標為（－2，－1）時，求拋物線的解析式，并畫出該拋物線的大致圖形。

（3）若平行于軸的直線與拋物線交于C、D兩點，以CD為直徑的圓恰好與軸相切，求該圓的圓心坐標。

Answer 1

解：（1）令，得

    由勾股定理的逆定理和拋物線的對稱性知△ABM是一個以、為直角邊的等腰直角三角形

（2）設

∵△ABM是等腰直角三角形

∴斜邊上的中線等于斜邊的一半

又頂點M(－2，－1)

∴，即AB＝2

∴A(－3，0)，B(－1，0)

將B(－1，0) 代入中得

∴拋物線的解析式為，即

圖略

（3）設平行于軸的直線為

解方程組

得，  （

∴線段CD的長為

∵以CD為直徑的圓與軸相切

據題意得

∴

解得

∴圓心坐標為和。