Question

【題目】已知函數C1：y=kx2+（﹣3k）x﹣4．

（1）求證：無論k為何值，函數圖象與x軸總有交點？

（2）當k≠0時，（n﹣3，n﹣7）、（﹣n+1，n﹣7）是拋物線上的兩個不同點，

①求拋物線的表達式；

②求n；

（3）當k≠0時，二次函數與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，是否存在實數k，使△ABC為等腰三角形？若存在，請求出實數k；若不存在，請說明理由？

Answer 1

【答案】（1）證明參見解析；

（2）①y=x2+x﹣4；②n1=，n2=3；

（3）存在，k值為，，，﹣．

【解析】

試題分析：（1）分類討論：①當k=0時，函數為一次函數，與x軸必有一個交點；②當k≠0時，計算判別式得到△=（3k+）2≥0，由此得出無論k為何值，函數圖象與x軸總有交點；（2）①由（n﹣3，n﹣7）、（﹣n+1，n﹣7）是拋物線上的兩個不同點，由坐標特點可知，這兩點關于拋物線的對稱軸對稱，根據二次函數的對稱性得出，對稱軸為直線x==﹣1，再根據對稱軸公式得出=﹣1，解方程求出k的值，從而得出拋物線的表達式；②將（n﹣3，n﹣7）代入y=x2+x﹣4，即可求出n的值；（3）根據與x軸交點的縱坐標為0，與y軸交點的橫坐標為0，由二次函數的解析式求出A，B，C三點的坐標，得出三點中有兩個定點A（3，0），C（0，﹣4），另一動點坐標為（﹣，0）．AC=5，當△ABC為等腰三角形時，分AB為底邊、BC為底邊、AC為底邊三種情況求出另一動點坐標，進而求出k的值．

試題解析：（1）分類討論：①當k=0時，函數為一次函數，即y=x﹣4，與x軸有一個交點，交于點（3，0）；②當k≠0時，函數為二次函數，∵△=（﹣3k）2﹣4k×（﹣4）=（3k+）2≥0，即△≥0，∴此函數與x軸有一個或兩個交點；綜上可知，無論k為何值，函數圖象與x軸總有交點；（2）①當k≠0時，函數C1：y=kx2+（﹣3k）x﹣4為二次函數，∵（n﹣3，n﹣7）、（﹣n+1，n﹣7）是拋物線上的兩個不同點，縱坐標相同，這兩點關于對稱軸對稱，∴拋物線的對稱軸為直線x==﹣1，∴=﹣1，解得k=，∴拋物線的表達式為y=x2+x﹣4；②∵（n﹣3，n﹣7）是拋物線y=x2+x﹣4上的點，將此點坐標帶入：∴n﹣7=（n﹣3）2+（n﹣3）﹣4，解得n1=，n2=3；（3）∵y=kx2+（﹣3k）x﹣4，與x軸交點的縱坐標為0，與y軸交點的橫坐標為0，∴當y=0時，kx2+（﹣3k）x﹣4=0，解得x1=3，x2=﹣，∴如果設A點坐標為（3，0），那么B點坐標為（﹣，0）．∵x=0時，y=﹣4，∴C點坐標為（0，﹣4）．AC=5，當△ABC為等腰三角形時，AC=BC時，B點坐標為（﹣3，0），AC=AB，B點在A點左側時時B點坐標為（﹣2，0），當AB=CB時，利用勾股定理求出B點坐標是（﹣，0），當AC=AB，B點在A點右側時B點坐標是（8，0），所以當﹣=﹣3時，解得k=；當﹣=﹣2時，解得k=；當﹣=﹣時，解得k=；當﹣=8時，解得k=﹣．綜上所述，滿足條件的實數k的值為，，，﹣．