Question

3．如圖，平行四邊形ABCD中，AB=2，∠A=60°，以AB為直徑的⊙O過點D，點M是BC邊上一點（點M不與B，C重合），過點M作BC的垂線MN，交CD邊于點N．
（1）求AD的長；
（2）當點N在⊙O上時，求證：直線MN是⊙O的切線；
（3）以CN為直徑作⊙P，設BM=x，⊙P的直徑為y，
①求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
②當BM為何值時，⊙P與⊙O相切．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由題意證出△AOD是等邊三角形，得出AD=OA=1即可；
（2）連接ON，由平行四邊形的性質得出AB∥CD，BC=AD=1，∠C=∠A=60°，證出△DON是等邊三角形，得出∠DNO=60°，求出∠CNM=30°，因此∠ONM=90°即可；
（3）①由含30°角的直角三角形的性質得出CN=2CM，即可得出結果；
②作PE⊥AB于E，CN⊥AB于N，則∠BCN=30°，由含30°角的直角三角形的性質得出BN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，得出PE=CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由相切兩圓的圓心距=兩圓半徑之和，得出OP=OB+PC=2-x，因此OE=OB+BN-EN=$\frac{1}{2}$+x，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）解：連接OD，如圖1所示：
根據題意得：OA=OB=1，
∵OA=OD，∠A=60°，
∴△AOD是等邊三角形，
∴AD=OA=1，∠AOD=60°；
（2）證明：連接ON，如圖2所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，BC=AD=1，∠C=∠A=60°，
∴∠ODN=∠AOD=60°，
∵OD=ON，
∴△DON是等邊三角形，
∴∠DNO=60°，
∵MN⊥BC，
∴∠CNM=90°-60°=30°，
∴∠ONM=180°-30°-60°=90°，
即MN⊥ON，
∴直線MN是⊙O的切線；
（3）解：①∵∠CNM=30°，MN⊥BC，
∴CN=2CM，即y=2（1-x），
∴y=2-2x，
即y關于x的函數關系式為y=2-2x（0＜x＜1）；
②作PE⊥AB于E，CN⊥AB于N，如圖3所示：
則∠BCN=30°，
∴BN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，PE=CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵⊙P與⊙O相切，
∴OP=OB+PC=1+1-x=2-x，OE=OB+BN-EN=1+$\frac{1}{2}$-（1-x）=$\frac{1}{2}$+x，
由勾股定理得：OE²+PE²=OP²，
即（$\frac{1}{2}$+x）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=（2-x）²，
解得：x=$\frac{3}{5}$，
即BM為$\frac{3}{5}$時，⊙P與⊙O相切．

點評 本題是圓的綜合題目，考查了平行四邊形的性質、等邊三角形的判定與性質、切線的判定、含30°角的直角三角形的性質、相切兩圓的性質、勾股定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（3）②中，需要根據相切兩圓的性質和勾股定理得出方程才能得出結果．