Question

已知：如圖，把等腰△ABO放在直角坐標系中，AB=AO，點A的坐標是（-2，3），過△ABO的重心Q作x軸的平行線l，把△ABO沿直線l翻折，使得點A'落在第三象限．
（1）試直接寫出點A′的坐標；
（2）若雙曲線過點A′，且它的另一分支與直線l相交于點C，試判斷：直線A′C是否經過原點O？
（3）問：y軸上是否存在點P，使得△A′CP是直角三角形？若存在，試求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意：Q（-2，1），直線l為：y=1，則A'（-2，-1）；

（2）將A'（-2，-1）代入雙曲線解析式，得雙曲線解析式為：．把y=1代入，得C（2，1），再求得直線AC的解析式為：y=2x，把點O（0，0）代入y=2x，左=右，故直線A'C經過原點O．

（3）①當∠A'CP=90°時，設過點C的直線CP的解析式為：y=mx+n（m≠0），直線CP與x軸的交點為D，又過點C（2，1），則2m+n=1，n=1-2m，故y=mx+（1-2m），點，作CH⊥x軸，由△OHC∽△CHD可得：，即CH²=OH•HD，
∴，解得：m=-2，故直線CP的解析式為y=-2x+5，令x=0，則y=5．故點P的坐標為P₁（0，5）．
②當∠PA'C=90°時，由雙曲線的對稱性可得另一點P的坐標為P₂（0，-5）．
③當∠A'PC=90°時，以A'C為直徑作⊙O交y軸于兩點P₃、P₄，由“直徑所對的圓周角是直角”可知P₃、P₄符合題意，在Rt△OHC中，由勾股定理可得：，則點、．
分析：（1）由已知點Q是三角形的重心，可寫出Q的坐標，又由過△ABO的重心Q作x軸的平行線l，把△ABO沿直線l翻折，使得點A'落在第三象限，可得出A^′的坐標．
（2）由（1）可得出C點的縱坐標為1，也可寫出雙曲線的解析式，因此可得出C點的坐標，繼而求出直線AC，把O（0，0）代入直線AC驗證即可．
（3）可分三種情況）①當∠A'CP=90°時，②當∠PA'C=90°時，③當∠A'PC=90°時，分類討論得出．
點評：本題考查的知識點是反比例函數的綜合運用．關鍵是（1）由已知先寫出Q的坐標，再根據翻折寫出A^′的坐標．（2）由已知求出直線AC的解析式，把O（0，0）代入驗證．（3）要求分三種情況分類討論求解．