Question

【題目】如圖，直線y＝x+6與y軸交于點A，與x軸交于點B，點E為線段AB的中點，∠ABO的平分線BD與y軸相交于點D，A、C兩點關于x軸對稱．

（1）一動點P從點E出發，沿適當的路徑運動到直線BC上的點F，再沿適當的路徑運動到點D處．當P的運動路徑最短時，求此時點F的坐標及點P所走最短路徑的長；

（2）點E沿直線y＝3水平向右運動得點E'，平面內是否存在點M使得以D、B、M、E'為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點E′的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），2；（2）（，3）或（，3）

【解析】

（1）首先根據直線與坐標軸的交點求出交點坐標，然后根據直角三角形和角平分線以及對稱的性質得出點C、D、E的坐標，進而得出直線BC解析式，再根據對稱性質確定最短路徑，求出直線E′D解析式，聯立兩個函數即可得出點F坐標；

（2）根據菱形的性質，分類討論：BD為邊和BD為對角線，求解即可.

（1）∵直線y=x+6與y軸交于點A，與x軸交于點B，

∴點A（0，6），點B（2，0），

∵點E為線段AB的中點，

∴點E（，3）

∵tan∠ABO=，

∴∠ABO=60°，

∵BD平分∠ABO，

∴∠ABD=∠DBO=30°，且OB=2，

∴DO=2，BD=2DO=4

∴點D（0，2）

∵A、C兩點關于x軸對稱．

∴點C坐標為（0，﹣6）

∵設直線BC解析式為：y=kx+b，

∴

∴解得：k=，b=﹣6

∴直線BC解析式為：y=x﹣6

如圖，作點D關于直線BC的對稱點D'（4，﹣2），連接ED'交BC于點F，

∴點P所走最短路徑為D'E的長，

∴D'E==2

設直線ED'解析式為：y=mx+n，

∴

解得：m=﹣，n=

∴直線ED'解析式為：y=﹣x+，

∴

∴

∴點F坐標（，）

（2）若BD為邊，設點E'（x，3）

∵四邊形BDE'M是菱形，

∴BD=DE'=4

∴4=

∴x=，

∴點E'（，3）

若BD為對角線，

∵四邊形BE'DM是菱形

∴DE'=BE'，

∴（x﹣0）2+（3﹣2）2=（x﹣2）2+32，

∴x=

∴點E'坐標（，3）

綜上，點E′的坐標為（，3）或（，3）.